作业帮谁能提供微分中值定理中构造辅助函数的具体步骤?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/19 01:06:35
谁能提供微分中值定理中构造辅助函数的具体步骤?
要明确的步骤,好操作,好记忆的.
要明确的步骤,好操作,好记忆的.
微分中值定理:
如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一t∈[a,b]使得f'(t)*(b-a)=f(b)-f(a)
证明：
1.若f(x)为常函数,显然成立.
2.若f(x)不为常函数.
(一)若f(a)＝f(b),则至少存在一个t使f(t)为极值,此时f'(t)=0=(f(b)-f(a))/(b-a)
(二)若f(a)≠f(b),构造辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x
易知g(a)=(bf(a)-af(b))/(b-a)=g(b)
由（一）中证明得：存在一个t使g(t)为极值,此时g'(t)=0=(g(b)-g(a))/(b-a)
而g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)
所以存在t使f'(t)=(f(b)-f(a))/(b-a)
构造的辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x,
可看成是f'(t)-(f(b)-f(a))/(b-a)的原函数
再利用原先的结论铺垫,即可
(参考资料,是我对微分中值定理证明的另一回答)
如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一t∈[a,b]使得f'(t)*(b-a)=f(b)-f(a)
证明：
1.若f(x)为常函数,显然成立.
2.若f(x)不为常函数.
(一)若f(a)＝f(b),则至少存在一个t使f(t)为极值,此时f'(t)=0=(f(b)-f(a))/(b-a)
(二)若f(a)≠f(b),构造辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x
易知g(a)=(bf(a)-af(b))/(b-a)=g(b)
由（一）中证明得：存在一个t使g(t)为极值,此时g'(t)=0=(g(b)-g(a))/(b-a)
而g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)
所以存在t使f'(t)=(f(b)-f(a))/(b-a)
构造的辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x,
可看成是f'(t)-(f(b)-f(a))/(b-a)的原函数
再利用原先的结论铺垫,即可
(参考资料,是我对微分中值定理证明的另一回答)