已知函数f(x)=|x-a|-lnx(a>0)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/07 02:36:28
已知函数f(x)=|x-a|-lnx(a>0)
(Ⅰ)若a=1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值;
(Ⅱ)若a>0,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:
(Ⅰ)若a=1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值;
(Ⅱ)若a>0,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:
ln2
(Ⅰ)a=1时,f(x)=|x-1|-lnx (x>0)
当0<x≤1,f(x)=1-(x+lnx),f′(x)=-1- 1 x<0,所以f(x)在(0,1]上单调递减; 当x>1,f(x)=x-(1+lnx),f′(x)=1- 1 x= x−1 x>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1时,f(x)的最小值为f(1)=0; (Ⅱ)若a≥1,当x≥a时,f(x)=x-a-lna,f′(x)=1- 1 x= x−1 x≥0,∴f(x)在区间[a,+∞)上单调递增; 当0<x<a时,f(x)=a-x-lnx,f′(x)=-1- 1 x<0,所以f(x)在(0,a)上单调递减; 若0<a<1,当x≥a时,f(x)=x-a-lna,f′(x)=1- 1 x= x−1 x,x>1,f′(x)>0,a<x<1,f′(x)<0 ∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,(a,1)上单调递减; 当0<x<a时,f(x)=a-x-lnx,f′(x)=-1- 1 x<0,所以f(x)在(0,a)上单调递减; 而f(x)在x=a处连续,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,(0,1)上单调递减 综上,当a≥1时,f(x)的递增区间是(a,+∞),递减区间是(0,a);当0<a<1时,f(x)的递增区间是(1,+∞),递减区间是(0,1); (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知,当a=1,x>1时,f(x)≥0,∴1-(x+lnx)≥0,∴lnx≤x-1. ∵x>0,∴ lnx x≤1− 1 x ∵n∈N+,n≥2,令x=n2,得 lnn n2≤ 1 2(1− 1 n2), ∴ ln2 22+ ln3 32+…+ lnn n2≤ 1 2(1- 1 22+1- 1 32+…+1- 1 n2) = 1 2[n-1-( 1 22 |