第七题 复变函数解析性那一块的题
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/20 08:08:58
第七题 复变函数解析性那一块的题
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/f9/cf95061263488d10283fe279095bb182.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/f9/cf95061263488d10283fe279095bb182.jpg)
|f(z)|=√(u²+v²),
∂|f(z)|/∂x=[1/√(u²+v²)](u∂u/∂x+v∂v/∂x)
∂|f(z)|/∂y=[1/√(u²+v²)](u∂u/∂y+v∂v/∂y)
(∂|f(z)|/∂x)²=[1/(u²+v²)][u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)]
(∂|f(z)|/∂y)²=[1/(u²+v²)][u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)(∂v/∂y)]
(∂|f(z)|/∂x)²+(∂|f(z)|/∂y)²=[1/(u²+v²)]
[u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)(∂v/∂y)] 根据柯西黎曼方程:∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x,得:
u²
(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)
(∂v/∂y)=u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂v/∂x)²+v²(∂u
/∂x)²-2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)=(u²+v²)[(∂u/∂x)²+(∂v/∂x)²]
所以(∂|f(z)|/∂x)²+(∂|f(z)|/∂y)²=(∂u/∂x)²+(∂v/∂x)²=|f‘(z)|²(注意到f’(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x)
再问:![](http://img.wesiedu.com/upload/2/b2/2b2de2596540cbcd080660cd0c5c464a.jpg)
再问:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/a4/0a4047c3251ae30fca7add522f05418c.jpg)
再答: sinz=sin(x+iy)=sinxcos(iy)+cosxsin(iy)=sinxcoshy+icosxsinhy
sin(z共轭)=sin(x-iy)=sinxcos(iy)-cosxsin(iy)=sinxcoshy-icosxsinhy
sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i
sin(z共轭)=[e^(i z共轭)-e^(-iz共轭)]/2i=[(e^(-iz)共轭)-(e^(iz)共轭)]/2i=([e^(iz)-e^(-iz)]/2i)共轭=
(sinz)共轭
再问:![](http://img.wesiedu.com/upload/c/9a/c9ac74c9a1c164a97b313fa8bb133cb1.jpg)
再问: 我这个对不对啊
再问: 用这种方法证明不了正弦
再答: 计算有错误,把共轭提进指数里面时要把i也共轭
再问:![](http://img.wesiedu.com/upload/8/b8/8b80760c36f3b999a7874ac636f8063b.jpg)
再问:![](http://img.wesiedu.com/upload/1/00/1002a4240954dba2455285aad61a4499.jpg)
再问: 方框里的
再答: 你理解错我的意思,我是说你1式的最后一步,
只是你这边刚好是cos算出来一样,但是带到sin就错了
再问: 一式应该是啥样的啊
再答: 最后(cosz)的共轭应该要等于
如果是sinz还要把分母的i共轭我把详细过程给你,你自己在仔细看看,今天太晚了,有什么疑问我明天在看![](http://img.wesiedu.com/upload/4/7d/47d0d039cf288a4533fac50320909908.jpg)
再问: 谢了
再问: 那个没收到 一式到底对不对啊
再答:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/7d/07d463cdaf99763de33534e789fa68d0.jpg)
∂|f(z)|/∂x=[1/√(u²+v²)](u∂u/∂x+v∂v/∂x)
∂|f(z)|/∂y=[1/√(u²+v²)](u∂u/∂y+v∂v/∂y)
(∂|f(z)|/∂x)²=[1/(u²+v²)][u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)]
(∂|f(z)|/∂y)²=[1/(u²+v²)][u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)(∂v/∂y)]
(∂|f(z)|/∂x)²+(∂|f(z)|/∂y)²=[1/(u²+v²)]
[u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)(∂v/∂y)] 根据柯西黎曼方程:∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x,得:
u²
(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)
(∂v/∂y)=u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂v/∂x)²+v²(∂u
/∂x)²-2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)=(u²+v²)[(∂u/∂x)²+(∂v/∂x)²]
所以(∂|f(z)|/∂x)²+(∂|f(z)|/∂y)²=(∂u/∂x)²+(∂v/∂x)²=|f‘(z)|²(注意到f’(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x)
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/b2/2b2de2596540cbcd080660cd0c5c464a.jpg)
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/a4/0a4047c3251ae30fca7add522f05418c.jpg)
再答: sinz=sin(x+iy)=sinxcos(iy)+cosxsin(iy)=sinxcoshy+icosxsinhy
sin(z共轭)=sin(x-iy)=sinxcos(iy)-cosxsin(iy)=sinxcoshy-icosxsinhy
sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i
sin(z共轭)=[e^(i z共轭)-e^(-iz共轭)]/2i=[(e^(-iz)共轭)-(e^(iz)共轭)]/2i=([e^(iz)-e^(-iz)]/2i)共轭=
(sinz)共轭
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/9a/c9ac74c9a1c164a97b313fa8bb133cb1.jpg)
再问: 我这个对不对啊
再问: 用这种方法证明不了正弦
再答: 计算有错误,把共轭提进指数里面时要把i也共轭
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/b8/8b80760c36f3b999a7874ac636f8063b.jpg)
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/00/1002a4240954dba2455285aad61a4499.jpg)
再问: 方框里的
再答: 你理解错我的意思,我是说你1式的最后一步,
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/47/247f3c966c7f90df8b50d29121d7bbf5.jpg)
再问: 一式应该是啥样的啊
再答: 最后(cosz)的共轭应该要等于
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/f8/df8679de8fc20b98cd5fe0776344acf2.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/7d/47d0d039cf288a4533fac50320909908.jpg)
再问: 谢了
再问: 那个没收到 一式到底对不对啊
再答:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/7d/07d463cdaf99763de33534e789fa68d0.jpg)