设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 22:51:41

（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    …（1分）
②当a＞0时，f（x）在 (-1， e
1-a
a -1] 上递增，在 [ e
1-a
a -1，+∞) 单调递减．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 [-
1
2 ，0] 上单调递增，在[0，1]上单调递减
又 f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-
1
2 )=-
1
2 +
1
2 ln2
∴ f(1)-f(-
1
2 )＜0
∴当 t∈[-
1
2 ，+
1
2 ln2，0) 时，方程f（x）=t有两解   …（8分）
（Ⅲ）要证：（1+m）ⁿ ＜（1+n）^m 只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证：
ln(1+m)
m ＜
ln(1+n)
n
设 g(x)=
ln(1+x)
x ，(x＞0) ，则 g / (x)=
x
1+x -ln(1+x)
x 2 =
x-(1+x)ln(1+x)
x 2 (1+x) …（10分）
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）

设函数f(x)=ln(x+1)+ax,(a属于实数a不等于0）设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线设a≥0，f （x）=x-1-ln 2 x+2a ln x（x>0）。设函数f（x）=1(x+1)ln(x+1)（x＞-1且x≠0）设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线y=f（x）在原点（0 设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1），已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),（a不等于0且为R） 1.求函数f(x 设f(x）={ln(x^2+a^2),若x>1; sinb(x-1）,若x 设函数f(x)=x(x-1)(x-a)(a大于1）设函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ax/(a+x) 设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时,求函数f（x）的最小值设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时,求函数f（x）的最小值；请写出详细求