作业帮如何用极限的思想解决球的体积推导问题!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/15 17:40:36
如何用极限的思想解决球的体积推导问题!
先计算半个球的体积在图中 截取很小的一段 看做一个圆柱体高度为△h , 底面半径为 （R^2-h^2）^0.5圆柱体 体积 △V=π*（R^2-h^2）*△h 半球体积V= ∫π*（R^2-h^2）*dh (h取值范围 0-R) =∫π*R^2*dh -∫π*h^2*dh =π(R^2*R-R^2*0)-1/3π(R^3-0^3) (定积分的计算) =πR^3-1/3*πR^3 =2/3*πR^3球的体积 V=2/3*πR^3 *2 =4/3*πR^3高中知识和上面差不多吧 就用同一个图来说明了把半球 从上到下 分成 m份 (m趋于无穷),每一份 都是个小圆柱.圆柱的高是 R/m我们来看 第n份的 情况,还是利用图中的三角形 第n份的地面半径 =（R^2-(n/m*R)^2）^1/2第n份的 体积就是 V(n)=π*（R^2-(n/m*R)^2）*R/m化简一下：V(n)=πR^3(m^2-n^2)/m^3半球的体积 =V(1)+V(2)+V(3)+.+V(n)+...+V(m) 即 ∑πR^3(m^2-n^2)/m^3 （n为 1-m） ∑πR^3(m^2-n^2)/m^3 =πR^3*n/m -πR^3*/m^3∑n^2下面来看一下 ∑n^2 这个求和1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (这个公式用立方差公式可以推导出来)知道这个后 ,我们再来看 上面的式子那么 ∑πR^3(m^2-n^2)/m^3 = πR^3*n/m-πR^3*/m^3 *n(n+1)(2n+1)/6 （n=m） =πR^3-πR^3*m(m+1)(2m+1)/6m^3m趋于无穷 半球的体积= lim[πR^3-πR^3*m(m+1)(2m+1)/6m^3] (m→∞) =πR^3-πR^3*lim [m(m+1)(2m+1)/6m^3] (关于这个极限 lim [m(m+1)(2m+1)/6m^3] =1/3, 极限其实就等于 最高次项的系数比) 那么 半球的体积=πR^3-πR^3* 1/3=2/3πR^3球体积=2/3πR^3 *2 =4/3 πR^3