相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗?为什么
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/03 05:16:59
相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗?为什么
是的
设 △ABC∽△A’B’C’
AB∶A’B’=BC∶B’C’=CA∶C’A’=k
设 AB边上的高为h,A’B’边上的高为h’
可以证明 h∶h’=k (证明很简单,从略.)
△ABC的面积∶△A’B’C’的面积
=1/2ABh∶1/2A’B’h’
={(k*A’B’)*(k*h’)}∶(A’B’*h’)
=k*k
现在来证明正题
设有两个相似多边形
多边形-ABC…PQ 和 多边形-A’B’C’…P’Q’
对应边之比为k
在这两个多边形中,以某个对应顶点(例如A和A’)向其他顶点作对角线,把每个多边形各自分成n个三角形.(n=多边形的边数-2)
△1,△2,△3,…△n
△1’,△2’,△3’,…△n’
一一对应.
可以证明对应的三角形是相似三角形,其对应边之比就是多边形对应边之比k,对应三角形面积之比就是k*k,即
△1∶△1’=△2∶△2’=△3∶△3’=…=△n∶△n’=k*k
(△后面省去了“的面积”三个字)
根据比例性质
若 a∶b=c∶d=e∶f=…=m
则 (a+c+e+…)∶(b+d+f+…)=m
我们得出
(△1+△2+△3+…+△n)∶(△1’+△2’+△3’+…+△n’)=k*k
上面的比例式中,前项就是 多边形-ABC…PQ的面积
而后项是 多边形-A’B’C’…P’Q’的面积.
证明完毕.
(说明:上面各式中,用k*k表示k的平方.)
设 △ABC∽△A’B’C’
AB∶A’B’=BC∶B’C’=CA∶C’A’=k
设 AB边上的高为h,A’B’边上的高为h’
可以证明 h∶h’=k (证明很简单,从略.)
△ABC的面积∶△A’B’C’的面积
=1/2ABh∶1/2A’B’h’
={(k*A’B’)*(k*h’)}∶(A’B’*h’)
=k*k
现在来证明正题
设有两个相似多边形
多边形-ABC…PQ 和 多边形-A’B’C’…P’Q’
对应边之比为k
在这两个多边形中,以某个对应顶点(例如A和A’)向其他顶点作对角线,把每个多边形各自分成n个三角形.(n=多边形的边数-2)
△1,△2,△3,…△n
△1’,△2’,△3’,…△n’
一一对应.
可以证明对应的三角形是相似三角形,其对应边之比就是多边形对应边之比k,对应三角形面积之比就是k*k,即
△1∶△1’=△2∶△2’=△3∶△3’=…=△n∶△n’=k*k
(△后面省去了“的面积”三个字)
根据比例性质
若 a∶b=c∶d=e∶f=…=m
则 (a+c+e+…)∶(b+d+f+…)=m
我们得出
(△1+△2+△3+…+△n)∶(△1’+△2’+△3’+…+△n’)=k*k
上面的比例式中,前项就是 多边形-ABC…PQ的面积
而后项是 多边形-A’B’C’…P’Q’的面积.
证明完毕.
(说明:上面各式中,用k*k表示k的平方.)
为什么相似三角形周长的比等于相似比 ,而面积是相似比的平方?
证明:相似三角形面积比等于相似比的平方(要有过程)
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