求解一道向量与三角结合的题目

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/03 05:04:36

求解一道向量与三角结合的题目
已知三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量p=（a+b+c,a）,q=(3c,a-b+c),r=(-cosA,cosA+cosB+cosC),若向量p‖q,p⊥r,求三角形ABC三个内角的大小.

因为p‖q
则（a+b+c,a）‖(3c,a-b+c),得3ac=(a+b+c)(a-b+c)=a^2+c^2+2ac-b^2
即a^2+c^2-b^2=ac
则cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2,即B=60°
因为p⊥r
则(a+b+c,a）(-cosA,cosA+cosB+cosC)=0
(a+b+c)cosA-a(cosA+cosB+cosC)=0
sinAcosA+sinBcosA+sinCcosA-sinAcosA-siAcosB-sinAcosC=0
(sinBcosA-sinAcosB)+(sinCcosA-sinAcosC)=0
sin(B-A)+sin(C-A)=0
sin(60°-A)=sin(A-C)=sin(2A-120°) （因为B=60°）
60°-A=2A-120°+k*360°或60°-A=180°-（2A-120°）+k*360°
即A=60°或A=120°（舍）
综上A=B=C=60°

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