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正方形用3个等圆将其覆盖 问圆最小直径

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/07 21:36:17
正方形用3个等圆将其覆盖 问圆最小直径
用坐标描述方便点.设正方形的顶点为 (0,0),(0,1),(1,1),(1,0).
设R1,R2,R3三个圆是个满足条件的最佳覆盖.
三个圆必有一个圆含两个顶点.不妨设 R1 覆盖(0,0),(1,0).
因是最佳覆盖,则这两个顶点必定在R1的圆周上.(如果不在圆周上,可以往上平移或转动使得覆盖更多地方,并包含原来覆盖的地方.这点细说有点罗嗦.)设R1交正方形两侧边于(0,a),(1,a).
设R2 覆盖(0,1),则R2覆盖(0,a).同时顶边的中点(1/2,1)至少被R2,R3之一覆盖,不妨设R2覆盖,则R2 最小是以(0,a),(1/2,1)两点为直径的圆.对称地R3是以(1,a),(1/2,1)两点为直径的圆.
下面计算
R2与R1的直径相等 ===》
R1直径:(0,a),(1,0)
R2直径:(0,a),(1/2,1)
1 + a^2 = 1/4 + (1-a)^2
==> a=1/8
圆最小直径= 根(1+1/64)=根(65)/8