作业帮已知函数f（x）=lnx-ax（a＞0）．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/07 23:45:19
已知函数f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，求a的取值范围．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，求a的取值范围．
f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a=2时，f′（x）=
1
x-2=
1−2x
x，
由于0＜x＜
1
2时，f′（x）＞0，x＞
1
2时，f′（x）＜0，
则f(x)在(0，
1
2)上是增函数，在(
1
2，+∞)上是减函数，
在x=
1
2时，取得极大值且极大值为f（
1
2）=-ln2-1；
（2）由条件可得f（x）=lnx-ax＜0（x＞0），
则当x＞0时，a＞
lnx
x恒成立，
令h（x）=
lnx
x（x＞0），则h′（x）=
1−lnx
x2，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e；
令h′（x）＜0，解得x＞e．
所以h（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
所以h（x）max=h（e）=
1
e，则a＞
1
e，
故a的取值范围是a＞
1
e．
（1）当a=2时，f′（x）=
1
x-2=
1−2x
x，
由于0＜x＜
1
2时，f′（x）＞0，x＞
1
2时，f′（x）＜0，
则f(x)在(0，
1
2)上是增函数，在(
1
2，+∞)上是减函数，
在x=
1
2时，取得极大值且极大值为f（
1
2）=-ln2-1；
（2）由条件可得f（x）=lnx-ax＜0（x＞0），
则当x＞0时，a＞
lnx
x恒成立，
令h（x）=
lnx
x（x＞0），则h′（x）=
1−lnx
x2，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e；
令h′（x）＜0，解得x＞e．
所以h（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
所以h（x）max=h（e）=
1
e，则a＞
1
e，
故a的取值范围是a＞
1
e．