作业帮过椭圆的弦的中点方程，怎么求
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 15:32:36
过椭圆的弦的中点方程，怎么求
解题思路： 联立方程组用韦达定理，中点坐标公式； 或点差法求斜率
解题过程：
直线与椭圆截得的弦的中点问题，有时可以通过“联立方程组、韦达定理、中点坐标公式”来求； 有时可用“点差法”来求。
请看一个例题：
已知一直线与椭圆
相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（3，1），求直线AB的方程。
法一（联立方程组法）： 设直线AB的斜率为k，则L方程为
联立
，
消去y并整理得
，………………（&）
设
， 则由根与系数的关系得 
，
则 弦
的中点
的横坐标为 
而根据条件，点的横坐标已知为3，所以 
， 解得 
，
【按说 还应该返回（&）检验△＞0（但是，由于点M显然在椭圆内部，所以直线与椭圆相交于两点是必然的），
∴ 直线AB的方程为
， 即：
．
法二（点差法）： 设 ，
由 点A、B在椭圆上、 M(3,1)是AB的中点，可列出
（1）－（2）并分解，得
将（3）、（4）代入， 可得
解得
这就是直线AB的斜率，所以直线AB的方程是
即（因为点M在椭圆内部，所以直线与椭圆相交于两点是必然的）.
解题过程：
直线与椭圆截得的弦的中点问题，有时可以通过“联立方程组、韦达定理、中点坐标公式”来求； 有时可用“点差法”来求。
请看一个例题：
已知一直线与椭圆
相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（3，1），求直线AB的方程。法一（联立方程组法）： 设直线AB的斜率为k，则L方程为
联立
， 消去y并整理得
，………………（&）设
， 则由根与系数的关系得 ， 则 弦
的中点的横坐标为 而根据条件，点
的横坐标已知为3，所以 ， 解得 ，【按说 还应该返回（&）检验△＞0（但是，由于点M显然在椭圆内部，所以直线与椭圆相交于两点是必然的），
∴ 直线AB的方程为
， 即：．法二（点差法）： 设
， 由 点A、B在椭圆上、 M(3,1)是AB的中点，可列出
（1）－（2）并分解，得
将（3）、（4）代入， 可得
解得
这就是直线AB的斜率，所以直线AB的方程是
即
（因为点M在椭圆内部，所以直线与椭圆相交于两点是必然的）.
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