一道竞赛题难题△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cos
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 07:01:47
一道竞赛题难题
△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边
若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形
(提示:a=bcosC+ccosB)
△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边
若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形
(提示:a=bcosC+ccosB)
用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
sinA(1-2cosA)+sinB(1-2cosB)+sinC(1-2cosC)=0
即sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C
而sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)
=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2
=4sin(A+B)/2cos(A/2)cos(B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ...1
sin2A+sin2B+sin2C=sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=4sinAsinBsinC ..2
由1,2得
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=1/8
而sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=(cos(A-B)/2)-cos(A+B)/2)*sin(C/2)/2
≤(1-sin(C/2))*sin(C/2)/2
≤(1-1/2)*(1/2)/2=1/8
等号成立当且仅当sin(C/2)=1/2,cos(A-B)/2=1
解得C=60,A=B,ABC是等边三角形
故原命题得证
sinA(1-2cosA)+sinB(1-2cosB)+sinC(1-2cosC)=0
即sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C
而sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)
=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2
=4sin(A+B)/2cos(A/2)cos(B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ...1
sin2A+sin2B+sin2C=sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=4sinAsinBsinC ..2
由1,2得
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=1/8
而sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=(cos(A-B)/2)-cos(A+B)/2)*sin(C/2)/2
≤(1-sin(C/2))*sin(C/2)/2
≤(1-1/2)*(1/2)/2=1/8
等号成立当且仅当sin(C/2)=1/2,cos(A-B)/2=1
解得C=60,A=B,ABC是等边三角形
故原命题得证
(1/2)在三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,且a cosC,b cosB,c cosA成等差数列 (1
在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c已知(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b
三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c 求 c
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosA-B/2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b/c=cosB/cosC,且a=1/2c,则cosA=?
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b.
在三角形ABC中内角的对边分别为a.b.c已知(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b 1)求sinC/si
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则( )
在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a cosA=c cosB+b cosC.(1)求角A的
高中三角函数在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-b/a=cosB/cosA(1)求角A的大
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA/cosB=a/b,且角C=2pai/3(1)求角A
在三角形ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b