作业帮详细答题步骤
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/29 11:42:23
解题思路： （1）求函数的定义域，利用导数研究函数的极值和单调区间． （2）利用f（x）存在极值，求a的取值范围．
解题过程：
解：（1）∵f′(x)＝ 1 x +2(x−a)＝ 2x2−2ax+1 x ，
∵x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=0，3-2a=0，a＝ 3 2
f′(x)＝ 2x2−3x+1 x (x＞0)，f'（x）＞0⇔2x2-3x+1＞0（x＞0）x＞1或0＜x＜ 1 2 ，
f（x）的单调增区间为(0， 1 2 )、（1，+∞）
（2））∵f′(x)＝ 1 x +2(x−a)＝ 2x2−2ax+1 x ，令f'（x）=0
则2x2-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但没有等根．△=4a2-8=4（a2-2）
当− 2 ＜a＜ 2 时，△＜0，则2x2-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当a＝ 2 时，2x2−2 2 x+1＝0，方程的根x0＝ 2 2 ，x∈(0， 2 2 )，x∈( 2 2 ，+∞)时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上无极值．
同理当a＝− 2 时，f（x）在（0，+∞）上无极值．
当a＜− 2 或a＞ 2 时，△＞0，方程有二个解x1＝ a− a2−2 2 ，x2＝ a+ a2−2 2 ，且x1+x2=a，x1•x2＝ 1 2
当a＜− 2 时，x1+x2＜0，x1x2＞0，x1，x2均为负根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）无极值点．
当a＞ 2 时x1+x2＞0，x1•x2＞0，∴x1•x2∈（0，+∞）
x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） f（x） + 0 - 0 + f′（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴f（x）在x1处有极大值，在x2处有极小值．
∴a的取值范围是( 2 ，+∞)
∵f(x1)+f(x2)＝lnx1+lnx2+(x1−a)2+(x2−a)2=lnx1x2+(x12+x22)−2a(x1+x2)+2a2＝ln 1 2 +(x12+x22)−2a•a+2a2≥ln 1 2 +2x1x2＝ln 1 2 +1＝ln e 2
∵x1≠x2，∴f(x1)+f(x2)＞ln e 2
最终答案：略
解题过程：
解：（1）∵f′(x)＝ 1 x +2(x−a)＝ 2x2−2ax+1 x ，
∵x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=0，3-2a=0，a＝ 3 2
f′(x)＝ 2x2−3x+1 x (x＞0)，f'（x）＞0⇔2x2-3x+1＞0（x＞0）x＞1或0＜x＜ 1 2 ，
f（x）的单调增区间为(0， 1 2 )、（1，+∞）
（2））∵f′(x)＝ 1 x +2(x−a)＝ 2x2−2ax+1 x ，令f'（x）=0
则2x2-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但没有等根．△=4a2-8=4（a2-2）
当− 2 ＜a＜ 2 时，△＜0，则2x2-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当a＝ 2 时，2x2−2 2 x+1＝0，方程的根x0＝ 2 2 ，x∈(0， 2 2 )，x∈( 2 2 ，+∞)时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上无极值．
同理当a＝− 2 时，f（x）在（0，+∞）上无极值．
当a＜− 2 或a＞ 2 时，△＞0，方程有二个解x1＝ a− a2−2 2 ，x2＝ a+ a2−2 2 ，且x1+x2=a，x1•x2＝ 1 2
当a＜− 2 时，x1+x2＜0，x1x2＞0，x1，x2均为负根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）无极值点．
当a＞ 2 时x1+x2＞0，x1•x2＞0，∴x1•x2∈（0，+∞）
x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） f（x） + 0 - 0 + f′（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴f（x）在x1处有极大值，在x2处有极小值．
∴a的取值范围是( 2 ，+∞)
∵f(x1)+f(x2)＝lnx1+lnx2+(x1−a)2+(x2−a)2=lnx1x2+(x12+x22)−2a(x1+x2)+2a2＝ln 1 2 +(x12+x22)−2a•a+2a2≥ln 1 2 +2x1x2＝ln 1 2 +1＝ln e 2
∵x1≠x2，∴f(x1)+f(x2)＞ln e 2
最终答案：略