详细答题步骤
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/29 11:42:23
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/9b/89bd5cd2eb87c693584942f606efafca.jpg)
解题思路: (1)求函数的定义域,利用导数研究函数的极值和单调区间. (2)利用f(x)存在极值,求a的取值范围.
解题过程:
解:(1)∵f′(x)= 1 x +2(x−a)= 2x2−2ax+1 x ,
∵x=1时,f(x)取得极值,f'(1)=0,3-2a=0,a= 3 2
f′(x)= 2x2−3x+1 x (x>0),f'(x)>0⇔2x2-3x+1>0(x>0)x>1或0<x< 1 2 ,
f(x)的单调增区间为(0, 1 2 )、(1,+∞)
(2))∵f′(x)= 1 x +2(x−a)= 2x2−2ax+1 x ,令f'(x)=0
则2x2-2ax+1=0在(0,+∞)上有解,但没有等根.△=4a2-8=4(a2-2)
当− 2 <a< 2 时,△<0,则2x2-2ax+1>0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值.
当a= 2 时,2x2−2 2 x+1=0,方程的根x0= 2 2 ,x∈(0, 2 2 ),x∈( 2 2 ,+∞)时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上无极值.
同理当a=− 2 时,f(x)在(0,+∞)上无极值.
当a<− 2 或a> 2 时,△>0,方程有二个解x1= a− a2−2 2 ,x2= a+ a2−2 2 ,且x1+x2=a,x1•x2= 1 2
当a<− 2 时,x1+x2<0,x1x2>0,x1,x2均为负根
∴x∈(0,+∞)有f′(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.∴f(x)无极值点.
当a> 2 时x1+x2>0,x1•x2>0,∴x1•x2∈(0,+∞)
x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f(x) + 0 - 0 + f′(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴f(x)在x1处有极大值,在x2处有极小值.
∴a的取值范围是( 2 ,+∞)
∵f(x1)+f(x2)=lnx1+lnx2+(x1−a)2+(x2−a)2=lnx1x2+(x12+x22)−2a(x1+x2)+2a2=ln 1 2 +(x12+x22)−2a•a+2a2≥ln 1 2 +2x1x2=ln 1 2 +1=ln e 2
∵x1≠x2,∴f(x1)+f(x2)>ln e 2
最终答案:略
解题过程:
解:(1)∵f′(x)= 1 x +2(x−a)= 2x2−2ax+1 x ,
∵x=1时,f(x)取得极值,f'(1)=0,3-2a=0,a= 3 2
f′(x)= 2x2−3x+1 x (x>0),f'(x)>0⇔2x2-3x+1>0(x>0)x>1或0<x< 1 2 ,
f(x)的单调增区间为(0, 1 2 )、(1,+∞)
(2))∵f′(x)= 1 x +2(x−a)= 2x2−2ax+1 x ,令f'(x)=0
则2x2-2ax+1=0在(0,+∞)上有解,但没有等根.△=4a2-8=4(a2-2)
当− 2 <a< 2 时,△<0,则2x2-2ax+1>0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值.
当a= 2 时,2x2−2 2 x+1=0,方程的根x0= 2 2 ,x∈(0, 2 2 ),x∈( 2 2 ,+∞)时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上无极值.
同理当a=− 2 时,f(x)在(0,+∞)上无极值.
当a<− 2 或a> 2 时,△>0,方程有二个解x1= a− a2−2 2 ,x2= a+ a2−2 2 ,且x1+x2=a,x1•x2= 1 2
当a<− 2 时,x1+x2<0,x1x2>0,x1,x2均为负根
∴x∈(0,+∞)有f′(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.∴f(x)无极值点.
当a> 2 时x1+x2>0,x1•x2>0,∴x1•x2∈(0,+∞)
x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f(x) + 0 - 0 + f′(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴f(x)在x1处有极大值,在x2处有极小值.
∴a的取值范围是( 2 ,+∞)
∵f(x1)+f(x2)=lnx1+lnx2+(x1−a)2+(x2−a)2=lnx1x2+(x12+x22)−2a(x1+x2)+2a2=ln 1 2 +(x12+x22)−2a•a+2a2≥ln 1 2 +2x1x2=ln 1 2 +1=ln e 2
∵x1≠x2,∴f(x1)+f(x2)>ln e 2
最终答案:略