关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0(m∈Z),求

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/07 16:52:00

关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0(m∈Z),求根均为整数的充要条件

（解题思路,先根据条件关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0的根均为整数,来求出m的值,之后再证明是否是充要条件即可.）
因为方程mx²-4x+4=0是关于x的一元二次方程,则m≠0
设x1,x2为该方程的两个根,则根据韦达定理可得：
x1+x2=4/m
x1x2=4/m
因为根为整数,那么4/m必然为整数,则有m必然为4的约数,则m=±1,±2,±4
将m=±1,±2,±4依次带入方程mx²-4x+4=0检验得m=1,2,4满足方程mx²-4x+4=0根为整数的条件.
再将m=1,2,4分别代入方程x²-4mx+4m²-4m-5=0检验可知：
m=1满足方程x²-4mx+4m²-4m-5=0.根为整数的条件
从以上计算过程来看,由方程所有根都是整数得出m=1,显然m=1为方程所有根均为整数的充分条件.
下面来看m=1是否也是两个方程所有根为整数的必要条件.
必要条件即：已知m=1,则方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0的根都为整数.
当m=1时,两个方程即：x^2-4x+4=0,x^2-4x-5=0
易求得两个方程的根分别为：x=2和x=5或-1,所有根均为整数.
必要性获证.
综上可知：m=1是关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0(m∈Z)根为整数的充要条件.

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