已知函数f(X)=2lnx+1\x
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 02:59:06
已知函数f(X)=2lnx+1\x
已知函数f(x)=1/2lnx+1/x.(1)求函数的单调区间和极值;(2)求证对于任何正整数n>2有2(1+1/2+1/3+……+1/n)+ln(1×2×3×……×n)>ln(2e)^n;(3)若对于任意x∈[4,+∞]及t∈[-1,1],是否存在实数m,使不等式f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2恒成立,若存在,试求实数m的取值范围
已知函数f(x)=1/2lnx+1/x.(1)求函数的单调区间和极值;(2)求证对于任何正整数n>2有2(1+1/2+1/3+……+1/n)+ln(1×2×3×……×n)>ln(2e)^n;(3)若对于任意x∈[4,+∞]及t∈[-1,1],是否存在实数m,使不等式f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2恒成立,若存在,试求实数m的取值范围
(0,2)递减(2,正无穷大)递增 极值点为2 极值为1/2ln2+1/2
题设貌似有问题.
f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2即
f(x)min≥【t^2-2mt+5/4+ln2】max
即1/2lnx+1/x≥t^2-2mt+5/4+ln2
由第一问知x∈[4,+∞]递增
f(x)min=1/2ln4+1/4
故有1/2ln4+1/4≥t^2-2mt+5/4+ln2
则0≥t^2-2mt+1
m≥(t^2+1)/2t
m≥1符合题意
题设貌似有问题.
f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2即
f(x)min≥【t^2-2mt+5/4+ln2】max
即1/2lnx+1/x≥t^2-2mt+5/4+ln2
由第一问知x∈[4,+∞]递增
f(x)min=1/2ln4+1/4
故有1/2ln4+1/4≥t^2-2mt+5/4+ln2
则0≥t^2-2mt+1
m≥(t^2+1)/2t
m≥1符合题意