若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/05 22:07:14

若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.
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设四面体的四顶点A、B、C、D；AB、AC、AD、BC、BD、CD的中点分别为E、F、G、H、I、J.另取一定点0,A、B、C、D对应的向量分别记作 OA、OB、OC、OD,则 0E=(OA+OB)/2,OJ=(OC+OD)/2,EJ=(OC+OD-OA-OB)/2,同理 FI=(OB+OD-OA-OC)/2,GH=(OC+OB-OA-OD)/2.又由条件有 |EJ|=|FI|=|GH|,即 JE•JE=FI•FI=GH•GH,(OC+OD-OA-OB)•(OC+OD-OA-OB)＝(OB+OD-OA-OC)•(OB+OD-OA-OC)＝(OC+OB-OA-OD)•(OC+OB-OA-OD),OA•OB+OC•OD＝OA•OC+OB•OD＝OA•OD+OB•OC.于是 AB•CD=(OB-0A)•(OD-OC)=(0B•0D+0A•0C)-(0A•0D+0B•0C)=0,即 AB⊥CD,同理 AC⊥BD,AD⊥BC,即对棱互相垂直.

怎么证明正四面体的每组对棱都相互垂直捏? 证明对角线相等四边形的中点四边形一定是菱形用向量法证明：空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等用向量方法证明空间四边形对角线相互垂直的充要条件是对边平方和相等 1.证明：如果四边形两条对角线垂直且相等,那么依次连接它的四边中点得到一个正方形. 如图，正四面体A-BCD（空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中，E，F分别是棱AD，BC的中点，则EF和AC所成平面几何证明问题已知：四边形ABCD中AD//BC,AB垂直于BC,E为DC的中点,试问点E到AB两端点的距离一定相等吗若空间四边形的对角线互相垂直,则顺次连接这个四边形各边中点,所得到的四边形是证明等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等. 任意做一个四边形,对角线相等.并将其四边的中点依次连接起来.得到一个新的四边形,这个四边形为什么形状.怎么证明? 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分（此点称为四面体的重心）怎样证明等腰三角形底边的中点到两腰距离相等?