在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2-6x+4y+9=0，圆C2：（x+m）2+（y+m+5）2=2m2+8

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/04 23:00:18

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²-6x+4y+9=0，圆C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（Ⅰ）若m=5时，试求圆C₁与圆C₂的交点个数；
（Ⅱ）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C₁与圆C₂的一条切线，切点分别为T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，试求出所有满足条件的点P的坐标；
（Ⅲ）若斜率为k的直线l平分圆C₁，且满足直线l与圆C₂总相交，求直线l斜率k的范围．

（1）若m=5时，圆C₁即：（x-3）²+（y+2）²=4，圆C₂：（x+5）²+（y+10）²=100，圆心距C1C2＝8
2∈(8，12)，
∴两圆相交，交点个数为2个．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），圆C₁与圆C₂的半径分别为r₁、r₂，由题意得PC12−r12＝PC22−r22，
即 [(x0−3)2+(y0+2)2]−4＝[(x0+m)2+(y0+m+5)2]−(2m2+8m+10)，化简得x₀+y₀+1=0，
因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为（0，-1）或（-1，0）．
（3）依题意可知，直线l经过点C₁ （3，-2），设直线l的方程为：y+2=k（x-3），化简得kx-y-3k-2=0，
则圆心C₂（-m，-m-5）到直线l的距离为
|k−1|•|m+3|

k2+1，又圆C₂的半径为
2m2+8m+10，
所以，“直线l与圆C₂总相交”等价于“∀m∈R，且m≠-3，
|k−1|•|m+3|

k2+1＜
2m2+8m+10，即
|k−1|

k2+1＜

2m2+8m+10
(m+3)2①”．
记y＝
2m2+8m+10
(m+3)2，整理得（y-2）m²+2（3y-4）m+9y-10=0，
当y=2时，m=-2；
当y≠2时，判别式△=[2（3y-4）]²-4（y-2）（9y-10）≥0，解得y≥1．
综上得y＝
2m2+8m+10
(m+3)2，m≠-3的最小值为1，
所以，①式等价于
|k−1|

k2+1＜1，等价于k＞0．