作业帮求极限的值,答案看不懂.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 09:35:14
求极限的值,答案看不懂.
lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
令t=1/n,把原极限化为函数极限lim(t→0+) [e^2－(1+t)^(2/t)]/t,用洛必达法则,主要的计算是幂指函数(1+t)^(2/t)的求导,用对数求导法或化为复合指数函数,(1+t)^(2/t)＝e^[2/t*ln(1+t)],求导后是(1+t)^(2/t)×2[t/(1+t)-ln(1+t)]/t^2＝(1+t)^(2/t)×2[t－(1+t)ln(1+t)]/(t^2(1+t))
原极限＝lim [e^2－(1+t)^(2/t)]/t＝－lim (1+t)^(2/t)×2[t－(1+t)ln(1+t)]/(t^2(1+t))
＝－2e^2×lim [t－(1+t)ln(1+t)]/t^2,这里把(1+t)^(2/t)还有1+t的极限先计算出来了
＝－2e^2×lim [-ln(1+t)]/(2t)
＝－2e^2×(-1/2)
＝e^2
再问： 1+t的极限=1，所以就直接去掉了？我算了半天，如果不去掉就等于2e^2,我晕死......
原极限＝lim [e^2－(1+t)^(2/t)]/t＝－lim (1+t)^(2/t)×2[t－(1+t)ln(1+t)]/(t^2(1+t))
＝－2e^2×lim [t－(1+t)ln(1+t)]/t^2,这里把(1+t)^(2/t)还有1+t的极限先计算出来了
＝－2e^2×lim [-ln(1+t)]/(2t)
＝－2e^2×(-1/2)
＝e^2
再问： 1+t的极限=1，所以就直接去掉了？我算了半天，如果不去掉就等于2e^2,我晕死......