作业帮一数学证明题证明题（无图）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 03:45:20
一数学证明题证明题（无图）
已知三角形ABC为直角三角形,角ACB等于90度,AC=BC,点A、C在X轴上,点B坐标为(3,M)(M>0),线段AB与Y轴交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.
问：设点Q为抛物线上点P至点B之间的动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明：FC（AC+EC）为定植.
已知三角形ABC为直角三角形,角ACB等于90度,AC=BC,点A、C在X轴上,点B坐标为(3,M)(M>0),线段AB与Y轴交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.
问：设点Q为抛物线上点P至点B之间的动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明：FC（AC+EC）为定植.
如图,可知C（3,0）, B（3,m), A(3-m,0).D(0,m-3).
设：过BDP三点的抛物线方程为y=ax²+bx+c,
将B,D,P三点坐标代入得：
c=m-3. m=9a+3b+c, 0=a+b+c,
又P是抛物线顶点,所以：x=-b/2a=1,即b=-2a
所以：解得a=1,b=-2,c=1,m=4.
所以：B(3,4),A(-1,0),D(0,1)；且抛物线方程为y=x²-2x+1
设：Q(p,q),
则：经过PQ的方程为y=[q/(p-1)]x-[q/(p-1)]
当x=3时,y=2q/(p-1),即：CE=2q/(p-1)
经过Q,B的直线方程为y=[(q-4)/(p-3)]x+(4p-3q)/(p-3)
当y=0时,x=(3q-4p)/(q-4),即：OF=(3q-4p)/(q-4),
所以：FC=3-(3q-4p)/(q-4)=(4p-12)/(q-4)
所以：AC+EC=4+[2q/(p-1)]=(4p+2q-4)/(p-1)
所以：FC(AC+EC)=[(4p-12)/(q-4)][(4p+2q-4)/(p-1)]
=[(16P²-32p+16)-32p+32+8qp-24q]/(pq-q-4p+4)
=(16q-32p+32+8qp-24q)/ (pq-q-4p+4) (说明：q=p²-2p+1,因Q在抛物线上）
=8
即：FC（AC+EC）=8,是一个常数,所以是定值.
设：过BDP三点的抛物线方程为y=ax²+bx+c,
将B,D,P三点坐标代入得：
c=m-3. m=9a+3b+c, 0=a+b+c,
又P是抛物线顶点,所以：x=-b/2a=1,即b=-2a
所以：解得a=1,b=-2,c=1,m=4.
所以：B(3,4),A(-1,0),D(0,1)；且抛物线方程为y=x²-2x+1
设：Q(p,q),
则：经过PQ的方程为y=[q/(p-1)]x-[q/(p-1)]
当x=3时,y=2q/(p-1),即：CE=2q/(p-1)
经过Q,B的直线方程为y=[(q-4)/(p-3)]x+(4p-3q)/(p-3)
当y=0时,x=(3q-4p)/(q-4),即：OF=(3q-4p)/(q-4),
所以：FC=3-(3q-4p)/(q-4)=(4p-12)/(q-4)
所以：AC+EC=4+[2q/(p-1)]=(4p+2q-4)/(p-1)
所以：FC(AC+EC)=[(4p-12)/(q-4)][(4p+2q-4)/(p-1)]
=[(16P²-32p+16)-32p+32+8qp-24q]/(pq-q-4p+4)
=(16q-32p+32+8qp-24q)/ (pq-q-4p+4) (说明：q=p²-2p+1,因Q在抛物线上）
=8
即：FC（AC+EC）=8,是一个常数,所以是定值.