设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/09 09:51:48

设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．
试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

假设存在一组常数k，k₁，…，k_t，使得：
kβ+
t

i＝1ki(β+αi)=0，
即：(k+
t

i＝1ki)β=
t

i＝1(−ki)αi．①，
①上式两边同时乘以矩阵A，则有
(k+
t

i＝1ki)Aβ=
t

i＝1(−ki)Aαi．
因为：α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，
所以：Aα_i=0，故有
(k+
t

i＝1ki)Aβ=0，
又因为：Aβ≠0，
所以：k+
t

i＝1ki=0，②，
将②代入①式左端，得：

t

i＝1(−ki)αi=0．
因为：α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，
所以：α₁，α₂，…，α_t是线性无关，
从而：k₁=…=k_t=0，
将上式又代入②式得：
k=−
t

i＝1ki=0，
所以：k=k₁=…=k_t=0，
因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关，证毕．