线性代数（二次型化为规范型问题）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 13:54:38

线性代数（二次型化为规范型问题）

二次型化为规范型,是不是一般都要先化为标准型, 再通过标准型化为规范型呀?还是二次型可以直接化为规范型?

已知了标准型为何就能确定了正负惯性指数?是根据特征值确定的吗?可是这个已知的标准型不一定是通过正交变换得到呀,比如下边这个题,麻烦了老师

有的二次型可以直接化为规范形,可省去化标准形的过程,比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2,配方4x^2+(x+y)^2-4z^2.若令u=x,v=x+y,w=z,即x=u,y=u-v,z=w,则f=4u^2+v^2-4w^2,这是标准形.如果令u=2x,v=x+y,w=2z,则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2.

由标准形知道正、负特征值的个数,即可直接写出规范形,至于标准形是用可逆的线性变换还是正交变换得到的,对特征值的正负有影响吗?
这个二次型的矩阵是对角矩阵,特征值为-2,3,4,两正一负,所以规范形即得

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