简单的积分题《1》dy/dx+5y=-4e^-3x的通解是多少?《2》求d/dx[∫上线X^2下线是0 cos^2tdt

简单的积分题
《1》dy/dx+5y=-4e^-3x的通解是多少?
《2》求d/dx[∫上线X^2下线是0 cos^2tdt]=?
《3》lim∫上线1下线cosx e^-t^2dt/x^2=?(X趋于0)
《4》微分方程xy'+y=x^2+2的通解为?
《5》∫上线1下线0 2x-1的绝对值dx=?答案为什么上线变成二分之一了

1
dy/dx+5y=-4e^(-3x)
dy/dx+5y=0
dy/y=-5dx
ln|y|=-5x+lnC
y=Ce^(-5x)
设y=C(x)e^(-5x)
y'=C'(x)e^(-5x)+C(x)*(-5)e^(-5x)
C'(x)e^(-5x)=-4e^(-3x)
C'(x)=-4e^(2x)
dC=-4e^(2x)dx
C=-2e^2x+C1
通解y=(-2e^(2x)+C1)*e^(-5x)=-2e^(-3x)+C1e^(-5x)
2
d∫[0,x^2] cost^2dt/dx
√t=u t=0 u=0 t=x^2,u=x
=d∫[0,x^2](cos(√t)^2 )^2 d(√t)^2 /dx
=d∫[0,x](cosu^2)^2du^2/dx
=d∫[0,x]2u(cosu^2)^2du/dx
=2x(cos(x^2))^2
3
lim(x->0) ∫[cosx,1] e^(-t^2)dt /x^2
=lim(x->0) -∫[1,cosx]e^(-t^2)dt/x^2
=lim(x->0)-∫[1,cosx]e^(-t^2)dt /x^2
t=arccosu,t=1 u=0 t=cosx u=x
=lim(x->0) -∫[0,x]e^(-(arccosu)^2)darccosu /x^2
=lim(x->0)∫[0,x]e^(-(arccosu)^2)du/√(1-u^2)/x^2
=lim(x->0) [e^(-(arccosx)^2) /√(1-x^2)] /2x
=∞
4
xy'+y=x^2+2
(xy)'=x^2+2
xy=(1/3)x^3+2x+C
5
∫[0,1]|2x-1|dx
=∫[0,1/2](1-2x)dx +∫[1/2,1](2x-1)dx
=(x-x^2)|[0,1/2]+(x^2-x)|1/2,1]
=1/2-1/4-(1/4-1/2)
=1
再问： 第一题的答案写的是 y=(-2e^(-3x)+C1)*e^(-5x)=-2e^(-3x)+C1e^(-5x) 第三题答案是1/2e 第五题的答案是1/2 不知道是不是 答案有问题
再答： 1 y=-2e^(-3x) +C1e^(-5x) y'=6e^(-3x) +(-5)C1e^(-5x) y'+5y=4e^(-3x) 3 lim(x->0) ∫[cosx,1] e^(-t^2)dt /x^2 t=arccosu, t=1 u=0 t=cosx u=x =lim(x->0) -∫[0,x]e^(-(arccosu)^2)darccosu /x^2 =lim(x->0)∫[0,x]e^(-(arccosu)^2)du/√(1-u^2)/x^2 =lim(x->0) [e^(-(arccosx)^2) /√(1-x^2)] /2x (x->0) 2x->0 e^(-(arccosx)^2>0 =+∞ 5 1/2-1/4-(1/4-1/2) =(1/4+1/4 =1/2