作业帮请证明一个尺规作图画出的图形为正五边形
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 04:13:19
请证明一个尺规作图画出的图形为正五边形
1.在平面上任取一点作出圆A；2.作圆A的直径BC；3.分别以B点和C点为圆心,BC长为半径作圆,两圆交于D点；4.连结AD,交圆A于E点；5.以B点为圆心,AB长为半径作圆,交圆A与F、G两点；6.连结FG交AB于H点；7.以H为圆心,EH为半径作圆.交BC于I点；8.以E点为圆心,EI长为半径作圆,交圆A于J、K两点；9.分别以JK两点为圆心,JE长为半径作圆,交圆A于L、M两点；10.顺次连结L、M、K、E、J,则五边形LMKEJ为正五边形.
1.在平面上任取一点作出圆A；2.作圆A的直径BC；3.分别以B点和C点为圆心,BC长为半径作圆,两圆交于D点；4.连结AD,交圆A于E点；5.以B点为圆心,AB长为半径作圆,交圆A与F、G两点；6.连结FG交AB于H点；7.以H为圆心,EH为半径作圆.交BC于I点；8.以E点为圆心,EI长为半径作圆,交圆A于J、K两点；9.分别以JK两点为圆心,JE长为半径作圆,交圆A于L、M两点；10.顺次连结L、M、K、E、J,则五边形LMKEJ为正五边形.
首先,如若EJLMK是正五边形,则任一边对的圆心角为360/5=72度
设半径AE为R 则AJ=AE=R 所以△AEJ是底角为72度、腰长为R的等腰三角形
过A作EJ垂线交EJ于Y点得JY=EY=JE/2 所以所以角YAJ=36度
所以YJ=AJ×sin36度=(根5－1)R/4=EY
所以EJ=YJ+EY=(根5－1)R/2 即半径为R的圆内切五边形边长为(根5－1)R/2
只要通过特定方法得到 [(根5－1)R/2] 这个长度就OK啦
(sin36=(根5－1)/4——需要证明吗?)
3.得BE=CE
4.得AE 因为 AC=AB 所以AE垂直于BC AE=AB=AC
5.得BF BG 设半径AB=R 则BF=BG=AB=AF=AG=R
6 得AH 因为△AFB和△AGB同为等边三角形 所以AH=R×(sin30度)=R/2
7.得HI=HE 因为AE=R AH=R/2 所以HI=HE=(根5/2)R
8.得EI 因为AE=R AI=HI－AH=(根5/2)R－R/2=(根5－1)R/2
9.得EJ=EK=EI=(根5－1)R/2
10.得EJ=JL=LG=GK=KG=(根5－1)R/2 五边形达成!
设半径AE为R 则AJ=AE=R 所以△AEJ是底角为72度、腰长为R的等腰三角形
过A作EJ垂线交EJ于Y点得JY=EY=JE/2 所以所以角YAJ=36度
所以YJ=AJ×sin36度=(根5－1)R/4=EY
所以EJ=YJ+EY=(根5－1)R/2 即半径为R的圆内切五边形边长为(根5－1)R/2
只要通过特定方法得到 [(根5－1)R/2] 这个长度就OK啦
(sin36=(根5－1)/4——需要证明吗?)
3.得BE=CE
4.得AE 因为 AC=AB 所以AE垂直于BC AE=AB=AC
5.得BF BG 设半径AB=R 则BF=BG=AB=AF=AG=R
6 得AH 因为△AFB和△AGB同为等边三角形 所以AH=R×(sin30度)=R/2
7.得HI=HE 因为AE=R AH=R/2 所以HI=HE=(根5/2)R
8.得EI 因为AE=R AI=HI－AH=(根5/2)R－R/2=(根5－1)R/2
9.得EJ=EK=EI=(根5－1)R/2
10.得EJ=JL=LG=GK=KG=(根5－1)R/2 五边形达成!