设a1,a2,a3是n维向量,a1+a2,a2+a3,a3+a1无线相关,证明a1.a2,a3也无线相关
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 09:00:19
设a1,a2,a3是n维向量,a1+a2,a2+a3,a3+a1无线相关,证明a1.a2,a3也无线相关
可以用反证法来做.
假设a1,a2,a3线性相关
则a3可以用a1和a2来表示
不妨设:a3=ma1+na2
则a2+a3=ma1+(n+1)a2
a1+a3=(m+1)a1+na2
然后尝试用(a1+a2)和(a1+a3)来表示(a2+a3)
设(a2+a3)=p(a1+a2)+q(a1+a3)
则 ma1+(n+1)a2=[p+(m+1)q]a1+(p+nq)a2
比较系数得:p+(m+1)q=m
p+nq=n+1
解得:p=(m+n+1)/(m-n+1)
q=(m-n-1)/(m-n+1)
∴(a2+a3)= (m+n+1)/(m-n+1)× (a1+a2) +[(m-n-1)/(m-n+1)] × (a1+a3)
说明(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性相关
所以,当(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性无关时,a1,a2,a3也必定线性无关
再问: 用(a2+a3)表示(a1+a2)和(a1+a3)不就表示他们是相关的了吗
再答: 我的思路是 :当a1,a2,a3线性相关时,必然能推出(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性相关, 所以当(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性无关时,a1,a2,a3也必定线性无关 就是原命题和它的逆否命题等价。原命题不好证明,就证明它的逆否命题。
再问: 但是题目中已经给出了已知是无关的哦,这样假设的话不就不成立了吗
再答: 对啊。本来就是反证法嘛。 先假设一个和结论相反的条件。然后推导出来的结果与已知条件矛盾。因此假设不成立,所以原来的结论是正确的。 如果还是不明白的话,可以去看一下有关反证法的知识。
再问: 但是题目中已经知道了a1+a2,a2+a3,a3+a1是无关的 你后面还能够假设他们是相关的吗 这个我不是很了解哦 之前没有见过有这样的哦 麻烦你再帮我解释解释哦
再答: 我假设的是a1,a2,a3线性相关啊 然后用a1,a2,a3线性相关这个条件推导出a1+a2,a2+a3,a3+a1线性相关,与题目矛盾。 所以a1,a2,a3线性相关的假设不成立,因此a1,a2,a3无关
再问: 但是你假设a2+a3=p(a1+a2)+q(a1a3)不就是说明他们相关吗?如果无关的话这个等式成立吗?(我看定义是这样理解的)
再答: 这个只是一种尝试啊。 如果线性相关,那么就能求出p和q的值;如果线性无关,p和q自然就不能求出来啦。 所以a1+a2,a2+a3,a3+a1是否线性相关,跟我的假设没有关系,只跟a1,a2,a3是否线性相关有关。 还有 这本来就是反证法,我很奇怪明明题目都涉及到n维向量了,为什么会不明白反证法。
再问: 好的,谢谢哈!
再答: 如果没问题了,能不能麻烦采纳一下^_^
假设a1,a2,a3线性相关
则a3可以用a1和a2来表示
不妨设:a3=ma1+na2
则a2+a3=ma1+(n+1)a2
a1+a3=(m+1)a1+na2
然后尝试用(a1+a2)和(a1+a3)来表示(a2+a3)
设(a2+a3)=p(a1+a2)+q(a1+a3)
则 ma1+(n+1)a2=[p+(m+1)q]a1+(p+nq)a2
比较系数得:p+(m+1)q=m
p+nq=n+1
解得:p=(m+n+1)/(m-n+1)
q=(m-n-1)/(m-n+1)
∴(a2+a3)= (m+n+1)/(m-n+1)× (a1+a2) +[(m-n-1)/(m-n+1)] × (a1+a3)
说明(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性相关
所以,当(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性无关时,a1,a2,a3也必定线性无关
再问: 用(a2+a3)表示(a1+a2)和(a1+a3)不就表示他们是相关的了吗
再答: 我的思路是 :当a1,a2,a3线性相关时,必然能推出(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性相关, 所以当(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性无关时,a1,a2,a3也必定线性无关 就是原命题和它的逆否命题等价。原命题不好证明,就证明它的逆否命题。
再问: 但是题目中已经给出了已知是无关的哦,这样假设的话不就不成立了吗
再答: 对啊。本来就是反证法嘛。 先假设一个和结论相反的条件。然后推导出来的结果与已知条件矛盾。因此假设不成立,所以原来的结论是正确的。 如果还是不明白的话,可以去看一下有关反证法的知识。
再问: 但是题目中已经知道了a1+a2,a2+a3,a3+a1是无关的 你后面还能够假设他们是相关的吗 这个我不是很了解哦 之前没有见过有这样的哦 麻烦你再帮我解释解释哦
再答: 我假设的是a1,a2,a3线性相关啊 然后用a1,a2,a3线性相关这个条件推导出a1+a2,a2+a3,a3+a1线性相关,与题目矛盾。 所以a1,a2,a3线性相关的假设不成立,因此a1,a2,a3无关
再问: 但是你假设a2+a3=p(a1+a2)+q(a1a3)不就是说明他们相关吗?如果无关的话这个等式成立吗?(我看定义是这样理解的)
再答: 这个只是一种尝试啊。 如果线性相关,那么就能求出p和q的值;如果线性无关,p和q自然就不能求出来啦。 所以a1+a2,a2+a3,a3+a1是否线性相关,跟我的假设没有关系,只跟a1,a2,a3是否线性相关有关。 还有 这本来就是反证法,我很奇怪明明题目都涉及到n维向量了,为什么会不明白反证法。
再问: 好的,谢谢哈!
再答: 如果没问题了,能不能麻烦采纳一下^_^
设a1,a2,a3是n维向量,a1+a2,a2+a3,a3+a1无线相关,证明a1.a2,a3也无线相关
设向量a1,a2,a3线性相关,证明:向量a1+a2,a2+a3,a1+a3 线性相关
a1 a2 a3是n维向量 a1+a2 a2+a3 a3+a1线性无关 证明a1 a2 a3也线性无关
线性代数 设向量组a1a2 a3线性无关 证明向量组a1-a2 a2-a3 a3-a1线性相关
设向量组a1,a2,a3,线性无关.证明:向量组a1+a2+a3,a2+a3,a3也线性无关
若a1,a2,a3线性相关,则向量组B:a1,a2,a3,a1+a2 ()
向量a1 a2 a3 线性相关
证明题目设向量组a1,a2,a3线性无关,证明向量组a1+2a3,a2-a3,a1+2a2 线性相关 &nbs
设a1,a2,a3,b均为n维非零列向量,a1,a2,a3线性无关且b与a1,a2,a3分别正交,试证明a1,a2,a3
a1.a2.a3为n维向量,向量组a1+a2.a2+a3.a1+a3线性无关,证明向量组a1.a2.a3线性无关
证明向量组线性相关设向量组.,a1,a2,a3 ,线性相关,并设b1=a1+a2,b2=a1-2a2,b3=a1+a2+
设向量组a1,a2,a3线性无关.证明向量组a1+a3,a2+a3,a3也与线性无关.