四边形函数题!如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点B的坐标为（2,8）,OA∥BC,梯形OABC的面积为40

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 10:41:15

四边形函数题!
如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点B的坐标为（2,8）,OA∥BC,梯形OABC的面积为40
（1）求AB所在直线的解析式
（2）动点P从O点出发,以每秒一个单位的速度沿O-C-B-A方向运动向终点A运动,同时动点Q从A点出发,以每秒1个单位速度沿A-B-C方向向终点C运动,当一个点到达终点时,另一个点停止运动,过点Q作QD⊥OA于D,设点P,Q运动时间为t（单位为秒）,以P,D,Q,B为顶点的四边形面积为S,求S与t的函数关系式,并要写出自变量t的取值范围.
（3）在（2）的条件下,在直角梯形OABC中是否存在一点E,使以P,Q,E,B为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点E的左边（用含t的代数式表示）；若不存在,请说明理由.
主要做第2问.

）∵两底边OA=10,CB=8,垂直于底的腰 OC=2 3 ,
∴tan∠OAB=2 3 10-8 = 3 ,
∴∠OAB=60°．
（2）当点A′在线段AB上时,
∵∠OAB=60°,PA=PA′,
∴△A′PA是等边三角形,且QP⊥QA′,
∴PQ=（10-x）sin60°= 3 2 （10-x）,A′Q=AQ=1 2 AP=1 2 （10-x）,
∴y=S△AQP=1 2 A′Q•QP= 3 8 （10-x）2,
当A´与B重合时,AP=AB= 3 sin60° =4,
所以此时6≤x＜10；
当点A′在线段AB的延长线,且点Q在线段AB（不与B重合）上时,
纸片重叠部分的图形是四边形（如图②,其中E是PA′与CB的交点）,
当点Q与B重合时,AP=2AB=8,点P的坐标是（2,0）,
又由（2）中求得当A´与B重合时,P的坐标是（6,0）,
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2＜x＜6；
（3）y存在最大值．
①当6≤x＜10时,y= 3 8 （10-x）2,
在对称轴x=10的左边,S的值随着x的增大而减小,
∴当x=6时,y的值最大是2 3 ；
②当2≤x＜6时,由图③,重叠部分的面积y=S△AQP-S△A′EB,
∵△A′EB的高是A′B•sin60°,
∴y= 3 8 （10-x）2-1 2 （10-x-4）2× 3 2 = 3 8 （-x2+4x+28）=- 3 8 （x-2）2+4 3 ,
当x=2时,y的值最大是4 3 ；
③当0＜x＜2,即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是（如图③,其中E是PA´与CB的交点,F是QP与CB的交点）,
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF,四边形EPAB是等腰形,
∴EF=EP=AB=4,
∴y=1 2 EF•OC=1 2 ×4×2 3 =4 3 ．
综上所述,S的最大值是4 3 ,此时x的值是0＜x≤2．