求与y轴相切 且与圆(x-2)^2+y^2=4相外切的动圆圆心轨迹方程
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 08:42:27
求与y轴相切 且与圆(x-2)^2+y^2=4相外切的动圆圆心轨迹方程
设动圆的圆心M(x,y).
∵○M与y轴相切,∴半径R=|x|
又M到已知圆C的圆心C(2,0)的距离d=√【(x﹣2)²+y²】
由两圆相切的充要条件d=R+r得
√【(x﹣2)²+y²】=|x|+2
两边平方、移项、化简得
M的轨迹方程为y²=4x+4|x|
即y=0,x<0
y=8x,x>0,
x=0时不存在此动圆
第一种情况很重要,不能舍去!
当然,此题也可用纯粹的几何方法,但要分情况讨论.
1)若x>0,动点M到定点C的距离d1,和M到y轴的距离d2满足关系d1=d2+2
因此可作辅助直线l:x=﹣2,M到l的距离d3=d2+2=d1
这满足抛物线的几何定义,焦点F(2,0),准线x=﹣2
因此M的轨迹是y²=8x
2)若x<0,动点M到定点C的距离d1,和M到y轴的距离d2满足关系d1=d2+2
所以直线MC与y轴、○C必须交于一点,否则上述关系不能成立.
而容易验证○C与y轴相切于原点O,因此M必须在OC上,即M的轨迹是x负半轴
这两种方法各有优缺点.第一种方法,计算量大,容易出错,但不需分类;第二种方法,不需要计算,但容易忽略第2种情况,而且,必须对圆锥曲线的几何性质非常熟悉.
∵○M与y轴相切,∴半径R=|x|
又M到已知圆C的圆心C(2,0)的距离d=√【(x﹣2)²+y²】
由两圆相切的充要条件d=R+r得
√【(x﹣2)²+y²】=|x|+2
两边平方、移项、化简得
M的轨迹方程为y²=4x+4|x|
即y=0,x<0
y=8x,x>0,
x=0时不存在此动圆
第一种情况很重要,不能舍去!
当然,此题也可用纯粹的几何方法,但要分情况讨论.
1)若x>0,动点M到定点C的距离d1,和M到y轴的距离d2满足关系d1=d2+2
因此可作辅助直线l:x=﹣2,M到l的距离d3=d2+2=d1
这满足抛物线的几何定义,焦点F(2,0),准线x=﹣2
因此M的轨迹是y²=8x
2)若x<0,动点M到定点C的距离d1,和M到y轴的距离d2满足关系d1=d2+2
所以直线MC与y轴、○C必须交于一点,否则上述关系不能成立.
而容易验证○C与y轴相切于原点O,因此M必须在OC上,即M的轨迹是x负半轴
这两种方法各有优缺点.第一种方法,计算量大,容易出错,但不需分类;第二种方法,不需要计算,但容易忽略第2种情况,而且,必须对圆锥曲线的几何性质非常熟悉.
求与y轴相切 且与圆(x-2)^2+y^2=4相外切的动圆圆心轨迹方程
已知动圆M与圆C:X^2+(y-1)^2=1外切且与X轴相切,求动圆圆心的轨迹方程.
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