求I=∫∫ xz^2dydz+(yx^2-z^3)dzdx+(2xy+zy^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/05 18:33:16

求I=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,积分曲面为上半球面Z=√a^2-x^2-y^2
答案是2πa^3/5,求过程

题目条件中少写了一点：上半球面取上侧
由积分曲面方程知：x²+y²+z²=a²
则分母化为a²变成常数提出；
补平面Σ1：z=0,x²+y²≤a²,下侧
则曲面变为封闭曲面,用高斯公式：
(1/a²)∫∫ xz²dydz+(x²y-z³)dzdx+(2xy+y²z)dxdy
=(1/a²)∫∫∫ (z²+x²+y²) dxdydz
球坐标
=(1/a²)∫∫∫ r²r²sinφ drdφdθ
=(1/a²)∫[0→2π] dθ∫[0→π/2] sinφdφ∫[0→a] r^4 dr
=(1/a²)2π*1*(1/5)r^5 |[0→a]
=(2/5)πa^3
下面计算补的平面Σ1上的积分：
∫∫(Σ1) xz²dydz+(x²y-z³)dzdx+(2xy+y²z)dxdy
=-∫∫ 2xydxdy
由对称性
=0
因此本题结果为：
(2/5)πa^3-0=(2/5)πa^3

求I=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2, 计算∫∫ (2x+8z)dydz+(xy-xz)dzdx+(yz+2z)dxdy 计算∫∫2xz^2dydz+y(z^2+1)dzdx+(2-z^3)dxdy,其中∑是曲面z=x 计算曲面积分∫∫(x^2-yz)dydz+(y^2-xz)dzdx+(z^2-xy)dxdy,其中∑是三坐标平面与x=a ∫∫∑(xz^2+1)dydz+(yx^2+2)dzdx+(zy^2+3)dxdy,其中,∑是锥面z=√x^2+y^2( 曲面积分 ∫∫(y^2-x)dydz+(z^2-y)dzdx+(x^2-z)dxdy,∑为Z=1-x^2-y^2位于侧面计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+（z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下（x^2 求积分∫∫(x^2+zx)dydz+(y^2+xy)dzdx+(z^2+yz)dxdy,其中积分沿曲面外侧,x^2+y^ 计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧. 计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x^3)dydz+(z)dzdx+(y)dxdy 其中s+为曲面x^2+y^2=4,与曲面积分∫∫(2x+3z)dydz-x(x*z+y)dzdx+(y2+2z)dxdy的全表面的外侧 ∫∫(x^3+az^2)dydz+(y^3+ax^2)dzdx+(z^3+ay^2)dxdy,其中为上半球面z=根号下a