如图在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于A,与y轴交于B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 00:09:12

如图在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于A,与y轴交于B
1.直线AB上是否存在点P,使△AOP是以OA为底边的等边三角形,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
2.若将RT△AOB折叠,使OB边落在AB上,点O与点D重合,折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式

1) 设P（x,y) 是直线AB上的点,A点坐标为（4,0）
∵OA=4
若AOP是等边三角形,那么就应该有
x²+y²=16
（x-4)²+y²=16
∵y=-x+4
于是得
x²+x²-8x+16=16
2x(x-4)=0
x=0 或 x=4
当 x=0 时,y=4
P点就是B点三角形AOB是直角三角形
当x=4时,y=0
P点就是A点,不构成三角形
∴不存在满足题设条件的P点,使三角形AOP为等边三角形.
2）根据题意,C点到直线AB的距离等于OC的长度
设C点为（c,0),那么 |c+0-4|/√2=c
∵0＜c＜4
∴c-4＜0
∴4-c=√2c
(1+√2)c=4
c=4/(1+√2)=
∵B点坐标为（0,4）
于是BC所在直线的解析式是
x(1+√2)/4+y/4=1
即（1+√2）x+y-4=0
再问：对不起，打错了，是等腰三角形
再答：若AOP是等腰三角形，若OP=AP 那么就应该有 x²+y²=（x-4)²+y² x²=(x-4)² x=2 ∴y=-2+4=2 于是所求的P点坐标是（2，2）若OA=OP，则 x²+y²=16 把y=-x+4代入，得 x²+x²-8x+16=16 x(x-4)=0 x=0,或x=4 ∴P点与B点重合若AP=AP，则 (x-4)²+y²=16 把y=-x+4代入，得 (x-4)²=8 x-4=±2√2 x=4±2√2 于是，P 点坐标是（4+2√2，2√2）或（4-2√2，-2√2）