作业帮高数判断题（要详细解析）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 22:56:14
高数判断题（要详细解析）
判断正误并指出病因：
1.函数y=arcsinμ与μ=1+2的x次方的复合函数是y=arcsin（1+2的x次方）
2.函数f(x)=(x的二次方-1)／(x的二次方-3x+2)的无穷间断点是x=1和x=2.
3.limxcos(1／x)=limxlim(1／x)=0×lim(1／x)＝0
x→0 x→0 x→0
判断正误并指出病因：
1.函数y=arcsinμ与μ=1+2的x次方的复合函数是y=arcsin（1+2的x次方）
2.函数f(x)=(x的二次方-1)／(x的二次方-3x+2)的无穷间断点是x=1和x=2.
3.limxcos(1／x)=limxlim(1／x)=0×lim(1／x)＝0
x→0 x→0 x→0
1、两个函数要复合成一个函数需要满足一个前提条件,即内层函数的值域必须与外层函数的定义域有交集.
在本题中,y=arcsinμ是外层函数,定义域为[-1,1]；而μ=1+2^x是内层函数,值域为（1,+∞）,两者没有交集,无法构成一个复合函数.
2、y = (x^2-1)/(x^2-3x+2)
左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点；左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点；
第一类间断点可分为可去间断点和跳跃间断点；
第二类间断点可分为无穷间断点和震荡间断点；
无穷间断点即极限为无穷大的间断点.
所以
lim [(x^2-1)/(x^2-3x+2)]
x→1
=lim [(x+1)(x-1)/(x-1)(x-2)]
x→1
=lim [(x+1)/(x-2)]
x→1
=-2
即得 x=1 是第一类间断点,也是可去间断点；
lim [(x^2-1)/(x^2-3x+2)] = ∞
x→2
即得 x=2 是第二类间断点,也是无穷间断点.
3、lim [xcos(1／x)]=limxlim(1／x)
这个步骤出了两个错误：
第一个错误：x→0时,1/x→∞,cos(1/x)是一个有界变量,极限不存在,所以不能使用极限四则运算法则的乘法法则,不能分成两个极限相乘；
第二个错误：x→0时,cos(1/x)是一个有界变量,没有与1/x等价,所以不能代换；
这一题正确的解法是利用无穷小量的性质：有界变量与无穷小量的乘积仍然是无穷小量,即当x→0时,x是无穷小量,cos(1/x)是一个有界变量
所以
lim[xcos(1/x)] = 0
x→0
在本题中,y=arcsinμ是外层函数,定义域为[-1,1]；而μ=1+2^x是内层函数,值域为（1,+∞）,两者没有交集,无法构成一个复合函数.
2、y = (x^2-1)/(x^2-3x+2)
左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点；左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点；
第一类间断点可分为可去间断点和跳跃间断点；
第二类间断点可分为无穷间断点和震荡间断点；
无穷间断点即极限为无穷大的间断点.
所以
lim [(x^2-1)/(x^2-3x+2)]
x→1
=lim [(x+1)(x-1)/(x-1)(x-2)]
x→1
=lim [(x+1)/(x-2)]
x→1
=-2
即得 x=1 是第一类间断点,也是可去间断点；
lim [(x^2-1)/(x^2-3x+2)] = ∞
x→2
即得 x=2 是第二类间断点,也是无穷间断点.
3、lim [xcos(1／x)]=limxlim(1／x)
这个步骤出了两个错误：
第一个错误：x→0时,1/x→∞,cos(1/x)是一个有界变量,极限不存在,所以不能使用极限四则运算法则的乘法法则,不能分成两个极限相乘；
第二个错误：x→0时,cos(1/x)是一个有界变量,没有与1/x等价,所以不能代换；
这一题正确的解法是利用无穷小量的性质：有界变量与无穷小量的乘积仍然是无穷小量,即当x→0时,x是无穷小量,cos(1/x)是一个有界变量
所以
lim[xcos(1/x)] = 0
x→0