设m(x)是A的最小多项式,Q（x)是次数大于一得多项式怎样证明Q（x)可逆的充要条件是Q（x)与m(x)互素

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 21:57:16

要证的是“Q(A)可逆”的充要条件是Q(x)与m(x)互素吧.
充分性：若Q(x)与m(x)互素,则存在多项式 u(x)与v(x) 使得 Q(x)u(x)+m(x)v(x)=1,因此 Q(A)u(A)+m(A)v(A)=I,I是单位阵.因为 m(x) 是A的极小多项式,所以 m(A)=0,因此 Q(A)u(A)=I,从而 Q(A) 可逆.
必要性：若Q(A)可逆,且 Q(x) 与 m(x) 有公因子,即在复数域上有公共根c,则c是A的一个特征值,因此 0=Q(c) 是矩阵 Q(A) 的一个特征值,但这与 Q(A) 是可逆矩阵矛盾,从而 Q(x) 与 m(x) 互素.

设m(x)是A的最小多项式,Q（x)是次数大于一得多项式怎样证明Q（x)可逆的充要条件是Q（x)与m(x)互素设p是关于x的五次多项式,Q是关于x的三次多项式,则（） A.P+Q是关于X的八次多项式 B.P-Q是关于X的二次多设P是关于x的四次多项式,Q是关于x的三次多项式,问:P-Q是关于x的几次多项式(或单项式)? 设p是关于x的五次多项式,q是x的四次多项式,p加q是x的几次多项式设P是关于x的五次多项式,Q是关于x的四次多项式,问P+Q是关于x的几次多项式?P-2Q是关于x的几次多项式?特别是多少若多项式x^2+px+q因式分解的结果是（x+m）（x+n）,则方程x^2+px+q=0的根是( ) 设P是关于x的5次多项式，Q是关于x的3次多项式，则（　　）若P是关于x的三次多项式,Q是关于x的三次多项式,P-Q是若多项式x2+px+q分解因式的结果是（x+m)(x+n),则方程x2+px+q=0的根是? 证明：若p/q是整系数多项式f(x)的有理根,其中p,q互素,则（p-q)|f(1). P(x) 和 Q(x)是两个多项式函数, 设P是关于x的5次多项式,Q是关于X的3次单项式,则