作业帮用均值不等式求证.调和平均数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 08:57:22
用均值不等式求证.调和平均数
已知：a＞0,b＞0,求证：2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]
1、证：√ab≤(a+b)/2
∵(√a-√b)²≥0
∴a+b-2√ab≥0
∴a+b≥2√ab…………公式①
即√ab≤(a+b)/2
2、证：2/(1/a+1/b)≤√ab
根据公式①,有
√(a/b) + √(b/a)≥2√[√(a/b) · √(b/a)]=2
左边提取√ab,得
√ab(1/a + 1/b)≥2
即2/(1/a+1/b)≤√ab
3、证：(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]
∵a²+b²≥2ab
两边同时加a²+b²,得
2(a²+b²)≥a²+b²+2ab=(a+b)²
两边同时除以4,得
(a²+b²)/2≥(a+b)²/4
两边取根号,得
(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]
1、证：√ab≤(a+b)/2
∵(√a-√b)²≥0
∴a+b-2√ab≥0
∴a+b≥2√ab…………公式①
即√ab≤(a+b)/2
2、证：2/(1/a+1/b)≤√ab
根据公式①,有
√(a/b) + √(b/a)≥2√[√(a/b) · √(b/a)]=2
左边提取√ab,得
√ab(1/a + 1/b)≥2
即2/(1/a+1/b)≤√ab
3、证：(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]
∵a²+b²≥2ab
两边同时加a²+b²,得
2(a²+b²)≥a²+b²+2ab=(a+b)²
两边同时除以4,得
(a²+b²)/2≥(a+b)²/4
两边取根号,得
(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]