作业帮高数,提示用泰勒公式展开证明.也可以证明这题是错题,并改正这题中的条件再证明.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 06:55:50
高数,提示用泰勒公式展开证明.也可以证明这题是错题,并改正这题中的条件再证明.
函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,d(f(x))/dx 在x=0 处为0,证明在开区间（-1,1）内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为0.
函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,d(f(x))/dx 在x=0 处为0,证明在开区间（-1,1）内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为0.
结论应该是：
在开区间（-1,1）内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为3
证明如下：
证明：
将f(x)在x=0处展开成带拉格朗日尾项的泰勒级数
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!
=f(0)+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!, η ∈(0,x) （∵f'(0)=0）
代入x = -1 , 1, 它们分别相应有ξ1, ξ2
∴0=f(-1)=f(0)+f''(0)/2!-f'''(ξ1)/3!, -1
在开区间（-1,1）内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为3
证明如下：
证明：
将f(x)在x=0处展开成带拉格朗日尾项的泰勒级数
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!
=f(0)+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!, η ∈(0,x) （∵f'(0)=0）
代入x = -1 , 1, 它们分别相应有ξ1, ξ2
∴0=f(-1)=f(0)+f''(0)/2!-f'''(ξ1)/3!, -1