已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 08:33:43

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．

（1）由题意可得 f（-1）=kf（1）=-k，∵f（0.5）=k f（2.5），
∴f（2.5）=
1
kf(0.5)＝
1
k(0.5−2)×0.5＝−
3
4k．
（2）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），∴f（x-2）=kf（x），∴f（x）=
1
kf（x-2）．
当-2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x＜-2时，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）．
当2≤x≤3 时，0≤x-2≤1，f（x-2）=kf（x）=（x-2）（x-4），故f（x）=
1
k（x-2）（x-4）．
综上可得，f（x）=

k2(x+2)(x+4)，−3≤x＜−2
kx(x+2)，−2≤x＜0
x(x−2)，0≤x＜2

1
k(x−2)(x−4)，2≤x≤3
∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1]上为减函数．
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，
f（x）在x=-3或x=1处取最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3处取最大值f（-1）=-k或f（3）=-
1
k，
故有：
①k＜-1时，f（x）在x=-3处取最小值f（-3）=-k²，在x=-1处取最大值f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=1处取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1与x=3处取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=-1，在x=3处取最大值f（3）=-
1
k．

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2）,其中常数k为负数,且f（x）在区间【0,2】上有表达式已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x) 已知函数f(x)对任意实数x均有f(x0=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x) 已知函数f(x)对任意实数x均有f(x0=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间【0,2】上有表达式f(x) 已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k小于0,且f(x)在区间『0,2』的表达式为f(x) 已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2）,其中常数k是负数, 函数f(x)对任意实数x均有f(x+2)=kf(x),其中k为已知的正常数,且f﹙x﹚在区间[0,2]上有表达式f﹙x﹚ 已知函数f（x）＝kf（x＋2）其中k为负数,且f（x）在区间[0,2]上有表达式f（x）＝x（x－2）（1）求f（-1 在R在f（x）＝kf（x+2）,其中常数k为负数,且f（x）在区间［0,2］上有表达式f（x）＝x（x-2）.求f（-1 解一道函数题啊,已知函数f(x)对任何实数x均有f(x)=kf(x+2),其中k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有f 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数f(x)均有f(x+2)=-1/2f(x),且f(x)在区间[0,2]上有表达式f