作业帮求助一道高中函数竞赛题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 13:52:38
求助一道高中函数竞赛题
已知x=logpq+logqp,y=logp4q+logq4p+m(logp2q+logq2p),其中p>1,q>1,m∈R.
(1).将y表示成x的函数f(x),并求出其定义域；
(2).若f(x)=0有且仅有一个实数根,求实数m的取值范围.
最好有链接
主要是第二问中对有两解，一个大于4，一个小于4的解法不理解，
那把题干改得简单点：y=x^4+(m-4)x^2+2(1-m),x大于等于4。
已知x=logpq+logqp,y=logp4q+logq4p+m(logp2q+logq2p),其中p>1,q>1,m∈R.
(1).将y表示成x的函数f(x),并求出其定义域；
(2).若f(x)=0有且仅有一个实数根,求实数m的取值范围.
最好有链接
主要是第二问中对有两解，一个大于4，一个小于4的解法不理解，
那把题干改得简单点：y=x^4+(m-4)x^2+2(1-m),x大于等于4。
条件“x大于等于4”应该是x≥2.
（2）.设t＝x^2.则f(x)=0就是
g(t)=t^2+(m-4)t+2(1-m)=0,t≥4.①
要使方程①在区间[4.+∞)上有唯一解,有以下3种情况：
第一：Δ＝0且t＝(4-m)/2≥4,此时m∈Φ；
第二：t＝(4-m)/2＞4且g(4)＞0,即
m＜-4且16+4(m-4)+2(1-m)＞0,
∴m＜-4且m＞-1,此时m∈Φ；
第三：t＝(4-m)/2＜4且g(4)＞0,即
m＞-4且16+4(m-4)+2(1-m)＞0,
∴m＞-4且m＞-1,此时m∈(-1,+∞)；
综合以上,得m∈(-1,+∞).
（2）.设t＝x^2.则f(x)=0就是
g(t)=t^2+(m-4)t+2(1-m)=0,t≥4.①
要使方程①在区间[4.+∞)上有唯一解,有以下3种情况：
第一：Δ＝0且t＝(4-m)/2≥4,此时m∈Φ；
第二：t＝(4-m)/2＞4且g(4)＞0,即
m＜-4且16+4(m-4)+2(1-m)＞0,
∴m＜-4且m＞-1,此时m∈Φ；
第三：t＝(4-m)/2＜4且g(4)＞0,即
m＞-4且16+4(m-4)+2(1-m)＞0,
∴m＞-4且m＞-1,此时m∈(-1,+∞)；
综合以上,得m∈(-1,+∞).