作业帮求一道高一数列题的答案
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 07:54:17
求一道高一数列题的答案
已知{an}的前n项和Sn满足Sn=a（1-an）/（1-a）
（a为常数且a>0,a≠1,n∈N）
（1）求证{an}为等比数列,并求其通项公式
（2）若数列{bn}满足bn=2b（n-1）+an,是否存在一个常数a,使数列{bn/2^n}为等差数列?若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由
注：bn=2b（n-1）+an中n-1为角标 {bn/2^n}中2^n为2的n次幂
已知{an}的前n项和Sn满足Sn=a（1-an）/（1-a）
（a为常数且a>0,a≠1,n∈N）
（1）求证{an}为等比数列,并求其通项公式
（2）若数列{bn}满足bn=2b（n-1）+an,是否存在一个常数a,使数列{bn/2^n}为等差数列?若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由
注：bn=2b（n-1）+an中n-1为角标 {bn/2^n}中2^n为2的n次幂
第一题：Sn=a（1-an）/（1-a）
S(n-1)=a[1-a(n-1)]/(1-a)
两式相减得：an=[a*a(n-1)-a*an]/(1-a)
(1-a)an=a*a(n-1)-a*an
an=a*a(n-1)
an/a(n-1)=1/a(非0常数）
所以{an}为等比数列其通项为an=a^n
第二题：假设存在,则要证明bn/2^n-b(n-1)/2^(n-1)=常数
由条件bn=2b（n-1）+an得
bn/2^n=b(n-1)/2^(n-1)+an/2^n
则问题转化为an/2^n为一常数
an=a^n
易知只有当a=2时
{bn/2^n}为等差数列
S(n-1)=a[1-a(n-1)]/(1-a)
两式相减得：an=[a*a(n-1)-a*an]/(1-a)
(1-a)an=a*a(n-1)-a*an
an=a*a(n-1)
an/a(n-1)=1/a(非0常数）
所以{an}为等比数列其通项为an=a^n
第二题：假设存在,则要证明bn/2^n-b(n-1)/2^(n-1)=常数
由条件bn=2b（n-1）+an得
bn/2^n=b(n-1)/2^(n-1)+an/2^n
则问题转化为an/2^n为一常数
an=a^n
易知只有当a=2时
{bn/2^n}为等差数列