作业帮关于泰勒公式的一点小疑惑
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 20:33:17
关于泰勒公式的一点小疑惑
整个泰勒公式的推导我明白,但有几个小疑惑：1、大多数函数的泰勒展开式那个x0不是都取0吗,如果在这种情况下,是否可以在函数的定义域范围内近似的计算任何数值（比如lnx,sinx,e^x等函数在x等于100时候的数值）2、x的取值点是否需要在|x-x0|<1里面取值?3、如果这个x在x0等于0的情况下是任意取值的（比如ln100）,那么在展开到n阶的时候误差就是（x-x0）的n阶无穷小了.但是这不是有一个前提么,就是x趋于x0的时候（x-x0）的n阶无穷小.也就是这个x不是应该是趋近于x0的一个“动态过程”么我也不知道我说明白没有,希望能解答下在下的小疑惑...
整个泰勒公式的推导我明白,但有几个小疑惑：1、大多数函数的泰勒展开式那个x0不是都取0吗,如果在这种情况下,是否可以在函数的定义域范围内近似的计算任何数值（比如lnx,sinx,e^x等函数在x等于100时候的数值）2、x的取值点是否需要在|x-x0|<1里面取值?3、如果这个x在x0等于0的情况下是任意取值的（比如ln100）,那么在展开到n阶的时候误差就是（x-x0）的n阶无穷小了.但是这不是有一个前提么,就是x趋于x0的时候（x-x0）的n阶无穷小.也就是这个x不是应该是趋近于x0的一个“动态过程”么我也不知道我说明白没有,希望能解答下在下的小疑惑...
我感觉你的这几个问题其实是一样的,在x=x0处求出的泰勒展开式,只有在x=x0处以及有无穷多项（即n趋于无穷时）才是精确成立的,通常如果要用泰勒展开式估计某个函数的函数值,首先我们不能计算无限多项,即n是有限数,一般把n取的足够大就可以了.但是只有较大的n仍然不能保证估计准确,还要求x的取值要和x0足够接近,例如sinx在x=0处的展开式sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...,如果要做出足够准确的估计,就要求x所取的值足够接近0,你可以用计算器自己验证一下,x=0.01和x=1时,分别求出x-x^3/3!+x^5/5!和sinx的值,它们的误差是不一样的.