设函数f(x)在[0,1]连续且单调增加,证明F(X)=(1/X)∫[0,x]f(t)dt在(0,1)内也单调增加
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 17:38:01
设函数f(x)在[0,1]连续且单调增加,证明F(X)=(1/X)∫[0,x]f(t)dt在(0,1)内也单调增加
F(x)=(1/x)*∫[0,x]f(t)dt
F'(x)=(1/x)'*∫[0,x]f(t)dt+(1/x)*{∫[0,x]f(t)dt}'
=(-1/x²)*∫[0,x]f(t)dt+(1/x)*f(x)
=(-1/x²)*{∫[0,x]f(t)dt-xf(x)}
由积分中值定理,在[0,x]上,至少存在一点ξ∈[0,x],
使得 (x-0)f(ξ)=∫[0,x]f(t)dt
∴F'(x)=(-1/x²)*{xf(ξ)-xf(x)}
=(-1/x)*{f(ξ)-f(x)}
∵x∈(0,1),即0
再问: 谢谢您的指点,对我非常有帮助!
F'(x)=(1/x)'*∫[0,x]f(t)dt+(1/x)*{∫[0,x]f(t)dt}'
=(-1/x²)*∫[0,x]f(t)dt+(1/x)*f(x)
=(-1/x²)*{∫[0,x]f(t)dt-xf(x)}
由积分中值定理,在[0,x]上,至少存在一点ξ∈[0,x],
使得 (x-0)f(ξ)=∫[0,x]f(t)dt
∴F'(x)=(-1/x²)*{xf(ξ)-xf(x)}
=(-1/x)*{f(ξ)-f(x)}
∵x∈(0,1),即0
再问: 谢谢您的指点,对我非常有帮助!
设函数f(x)在[0,1]连续且单调增加,证明F(X)=(1/X)∫[0,x]f(t)dt在(0,1)内也单调增加
设f(x)在区间(-∞,+∞)内单调增加,limf(x)=1(x→0),证明f(x)在x=0处连续
设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt
证明题求定积分设函数F(X)在区间[a,b]上连续,单调增加,F(X)=1/(x-a)倍的{定积分f(t)dt,积分区间
设f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)=0,证明F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加
请问高数题 设f(x)在(-∞,+∞)内连续,F(x)=∫(上限x,下限0) (2t-x)f(t)dt.求证:有相同单调
证明:设f(x)在(-∞,+∞)连续,则函数F(x)=∫(0,1)f(x+t)dt可导,并求F'(x)
f(x)在(0.1)上连续且单调增,证明∫[0,1]f(x)dx
设f(x)是R上连续的奇函数,且单调增加,F(x)=∫ (2t-x)f(x-t)dt (下线是0,上线是x)
设f(x)在[0,pi/2]上连续,且单调增加,证明∫(0,pi/2)f(x)sinxdx≥2/pi∫(0,pi/2)f
高数题.设f(x)在(-∞,+∞)连续,单调递增.f(0)=0,F(x)=∫0→x (1+t)f(t)dt,求F(x)的
证明函数f(x)=-x²+1在区间(-∞,0)内单调增加.