作业帮大学数学线性代数的问题,自由变量的选取
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 16:53:06
大学数学线性代数的问题,自由变量的选取
如题.Ax=0,求A的通解.
将A的系数矩阵高斯消元成最简矩阵之后,如何选取自由变量?是每行第一个不为零的变量吗?自由变量的选取是唯一的吗?
我看参考书上有一种方法：将每一列分别消去,如果消去之后矩阵的秩=原系数矩阵的秩,那么这一列的变量就可以是自由变量.
这种方法的原理是什么?
如题.Ax=0,求A的通解.
将A的系数矩阵高斯消元成最简矩阵之后,如何选取自由变量?是每行第一个不为零的变量吗?自由变量的选取是唯一的吗?
我看参考书上有一种方法：将每一列分别消去,如果消去之后矩阵的秩=原系数矩阵的秩,那么这一列的变量就可以是自由变量.
这种方法的原理是什么?
给你举一个简单的例子,方程组x+y=1,y+z=1,那么如果选择用x表示该线性方程组的解就是x=x.y=1-x,z=x,如果用y表示其解,那就是x=1-y,y=y,z=1-y,同样用z表示法类似；那么上述解得坐标形式分别就是
（0,1,0）^T+x(1,-1,1)^T,（1,0,1）^T+y(-1,1,-1)^T,其中x,y任意.这说明自由变量可以任意选取.而自由变量的选取往往是根据方程组的各个变元的系数来选取,以使其基础解析尽量为整数解,
比如说2x+3y=0,一般会选取(-3,2)或者(3,-2)来作为其基础解析.
对于你上面说的那种方法是将A做初等行变换化为阶梯型的矩阵,而这种方法的实际呢是利用我们以前学的解方程组的消去法.此种方法的原理用简单的方程组给你表达就是x1+x2+...xn=0
x2+x3+...+xn=0.,xk+...+xn=0,那么从最后一个式子解出xk=-x(k+1)-...-xn,依次往上从而解出x1.当然上面的表达式省略了各个变元的系数.这就是通解,所以解方程组最重要的就是做初等变换化为阶梯型矩阵.当然就像我一开始说的特殊情况特殊对待不一定非得这样解,只不过这样解是万能的.希望楼主能理解!能采纳!
（0,1,0）^T+x(1,-1,1)^T,（1,0,1）^T+y(-1,1,-1)^T,其中x,y任意.这说明自由变量可以任意选取.而自由变量的选取往往是根据方程组的各个变元的系数来选取,以使其基础解析尽量为整数解,
比如说2x+3y=0,一般会选取(-3,2)或者(3,-2)来作为其基础解析.
对于你上面说的那种方法是将A做初等行变换化为阶梯型的矩阵,而这种方法的实际呢是利用我们以前学的解方程组的消去法.此种方法的原理用简单的方程组给你表达就是x1+x2+...xn=0
x2+x3+...+xn=0.,xk+...+xn=0,那么从最后一个式子解出xk=-x(k+1)-...-xn,依次往上从而解出x1.当然上面的表达式省略了各个变元的系数.这就是通解,所以解方程组最重要的就是做初等变换化为阶梯型矩阵.当然就像我一开始说的特殊情况特殊对待不一定非得这样解,只不过这样解是万能的.希望楼主能理解!能采纳!