求(arcsinx)/x在0到1上的定积分
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 10:17:15
求(arcsinx)/x在0到1上的定积分
先计算M=积分(从0到pi/2)lnsintdt
因为sint=2sintcost,lnsint=ln2+lnsin(t/2)+lncos(t/2)
故M=pi*ln2/2+积分(从0到pi/2)lnsin(t/2)dt+积分(从0到pi/2)lncos(t/2)dt t=2x
=pi*ln2/2+2积分(从0到pi/4)lnsinxdt+2积分(从0到pi/4)lncosxdx
对lncosx的积分做变量替换x=pi/2-t,易知其=积分(从pi/4到pi/2)lnsinxdx,因此
M=pi/2*ln2+2M,故M=--pi/2*ln2.
积分(从0到1)arcsinx/x dx=积分(从0到1)arcsinxd(lnx)
=arcsinx*lnx|上限1下限0--积分(从0到1)lnx/根号(1-x^2) dx
=--积分(从0到pi/2)lnsinx dx
=pi/2*ln2.
因为sint=2sintcost,lnsint=ln2+lnsin(t/2)+lncos(t/2)
故M=pi*ln2/2+积分(从0到pi/2)lnsin(t/2)dt+积分(从0到pi/2)lncos(t/2)dt t=2x
=pi*ln2/2+2积分(从0到pi/4)lnsinxdt+2积分(从0到pi/4)lncosxdx
对lncosx的积分做变量替换x=pi/2-t,易知其=积分(从pi/4到pi/2)lnsinxdx,因此
M=pi/2*ln2+2M,故M=--pi/2*ln2.
积分(从0到1)arcsinx/x dx=积分(从0到1)arcsinxd(lnx)
=arcsinx*lnx|上限1下限0--积分(从0到1)lnx/根号(1-x^2) dx
=--积分(从0到pi/2)lnsinx dx
=pi/2*ln2.
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