如何解这样的微分方程2xydy=(2*y^2-x)dx?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 04:18:18
如何解这样的微分方程2xydy=(2*y^2-x)dx?
不要直接的方程,要具体的步骤
不要直接的方程,要具体的步骤
(x-2y^2)dx+2xydy=0
M=x-2y^2
N=2xy
M_y=-4y
N_x=2y
(M_y-N_x)/N=-6y/2xy=-3/x
假设有关于x的积分因子u
(Mu)_y=(Nu)_x
M_y*u=N_xu+Nu_x
du/dx=[(M_y-N_x)/N]u=(-3/x)u
du/u=(-3/x)dx
ln |u|=-3ln|x|
u=x^(-3)
等式两边同乘u=x^(-3)
(1/x^2-2y^2/x^3)dx+(2y/x^2)dy=0
M_y=-4y/x^3
N_x=-4y/x^3
相等,左边是全微分
假设左边是F(x,y)的全微分
F_x=M=1/x^2-2y^2/x^3
F_y=N=2y/x^2
从第二式开始
F(x,y)=y^2/x^2+h(x)
带入第一式
F_x=-2y^2/x^3+h'(x)=1/x^2-2y^2/x^3
h'(x)=1/x^2
h(x)=-1/x
所以
F(x,y)=y^2/x^2-1/x
原方程等价于
d(F(x,y))=0
F(x,y)=C
y^2/x^2-1/x=C
即为所求
M=x-2y^2
N=2xy
M_y=-4y
N_x=2y
(M_y-N_x)/N=-6y/2xy=-3/x
假设有关于x的积分因子u
(Mu)_y=(Nu)_x
M_y*u=N_xu+Nu_x
du/dx=[(M_y-N_x)/N]u=(-3/x)u
du/u=(-3/x)dx
ln |u|=-3ln|x|
u=x^(-3)
等式两边同乘u=x^(-3)
(1/x^2-2y^2/x^3)dx+(2y/x^2)dy=0
M_y=-4y/x^3
N_x=-4y/x^3
相等,左边是全微分
假设左边是F(x,y)的全微分
F_x=M=1/x^2-2y^2/x^3
F_y=N=2y/x^2
从第二式开始
F(x,y)=y^2/x^2+h(x)
带入第一式
F_x=-2y^2/x^3+h'(x)=1/x^2-2y^2/x^3
h'(x)=1/x^2
h(x)=-1/x
所以
F(x,y)=y^2/x^2-1/x
原方程等价于
d(F(x,y))=0
F(x,y)=C
y^2/x^2-1/x=C
即为所求
如何解这样的微分方程2xydy=(2*y^2-x)dx?
微分方程(x+y^2)dx-xydy=0
求(x^2+y^2)dx-xydy=0微分方程的通解或特解
( x^2+y^2)dx=2xydy判断此微分方程的类型
求解常微分方程(x^2+y^2)dx-2xydy=0的通解.
微分方程(x^2+y^2)dx+2xydy=0的隐式通解是?
求微分方程的积分因子,并求其通解:(x-y^2)dx+2xydy=0
求微分方程:(x²+y²)dx-2xydy=0的通解.
解微分方程:(e^x+3y^2)dx+2xydy=0
求解齐次微分方程:(x^2+y^2)dx=xydy
求微分方程xydy+(y^2+1)dx=0的通解
求微分方程(x^2+2xy)dx+xydy=0的通解?