用单调有界准则证明该数列收敛并求极限【第五个】
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 06:59:05
用单调有界准则证明该数列收敛并求极限【第五个】
证明这个数列单调递减且有上界即可.
1、用数学归纳法证明这个数列有上界:
(1) 当n=2时,x2 = (1/2)(x1+a/x1) ≥√a 成立;
(2) 假设当n=k时,xk ≥√a 成立,则必有 xk > 0
于是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立
由(1)(2)据数学归纳法原理,得 对n≥2,总有Xn≥√a
即数列[an}有上界是√a
2、用比较法证明这个数列单调递减
当n≥2时
因为xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]
由上面已证的结论有:xn≥√a ,所以-a/xn ≥ - a/(√a)=-√a
于是xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]≥ 0
故对n≥2,总有Xn≥X(n+1)
所以数列[an}单调递减
3、因为数列[an}单调递减且有上界,所以数列[an}的极限存在,设limx(n+1)=limxn=A
于是由x(n+1)=(1/2)(xn+a/xn)得
limx(n+1)=lim(1/2)(xn+a/xn)
即A=(1/2)(A+a/A)
解得A=√a
即limxn=√a
再问: 这个是有下界吧?
再答: xn>m称上界
xn
1、用数学归纳法证明这个数列有上界:
(1) 当n=2时,x2 = (1/2)(x1+a/x1) ≥√a 成立;
(2) 假设当n=k时,xk ≥√a 成立,则必有 xk > 0
于是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立
由(1)(2)据数学归纳法原理,得 对n≥2,总有Xn≥√a
即数列[an}有上界是√a
2、用比较法证明这个数列单调递减
当n≥2时
因为xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]
由上面已证的结论有:xn≥√a ,所以-a/xn ≥ - a/(√a)=-√a
于是xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]≥ 0
故对n≥2,总有Xn≥X(n+1)
所以数列[an}单调递减
3、因为数列[an}单调递减且有上界,所以数列[an}的极限存在,设limx(n+1)=limxn=A
于是由x(n+1)=(1/2)(xn+a/xn)得
limx(n+1)=lim(1/2)(xn+a/xn)
即A=(1/2)(A+a/A)
解得A=√a
即limxn=√a
再问: 这个是有下界吧?
再答: xn>m称上界
xn
用单调有界准则证明该数列收敛并求极限【第五个】
第五个,用单调有界准则证明收敛,再求极限
利用极限存在准则(夹挤准则或单调有界准则)求证以下数列收敛,并求其极限
利用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在
利用单调有界数列收敛准则证明下面数列极限存在
利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
如何利用柯西收敛准则证明单调有界数列极限存在
设x1=1,数列Xn+1=1+1/Xn (n=1,2,……)证明Xn收敛,并求极限(请用单调有界或柯西准则证明)
利用单调有界数列必有极限存在准则,证明数列极限存在并求出
(4)用单调有界准则证明该数列极限存在
单调数列收敛准则证明数列极限存在
利用单调有界原理证明数列的收敛 并求极限