（2008•长宁区二模）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/01 11:06:03

（2008•长宁区二模）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值；
（Ⅱ）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）当直线AB垂直于x轴时，y₁=
2p，y₂=-
2p，因此y₁y₂=-2p²
（定值）；…．（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得；
ky²-2py-2p²k=0
因此有y₁y₂=-2p²为定值．…（4分）
（Ⅱ）D（-p，0），∴DC=2p，
S△ADB＝
1
2DC|y1−y2|，
当AB⊥x轴时，S△ADB＝
1
2×2p×2
2p=2
2p2．
当直线AB不垂直x轴时，
y1+y2＝
2p
k，
∴|y1−y2|＝
(y1−y2)2−4y1y2
=

4p