直线和圆的问题已知半径为1的定圆圆心为P,且圆心P到定直线L的距离为2,Q是直线L上一个动点,圆Q与圆P外切,圆Q交直线

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/13 09:36:31

直线和圆的问题
已知半径为1的定圆圆心为P,且圆心P到定直线L的距离为2,Q是直线L上一个动点,圆Q与圆P外切,圆Q交直线L于M,N两点.
对于任意的直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值,求∠MAN的大小.

这个定点是A(2－√3,0)或A(2＋√3,0).
设Q(2,t),则圆Q的方程是：(x－2)²＋(y－t)²=R²,其中R=|OQ|－1=√(4＋t²)－1.令x=2,得y=t±[√(4＋t²)－1],这个分别是点M、N的纵坐标y1、y2,而点M、N的横坐标都是2.
设存在定点A(m,n),使得∠MAN为定值.则MA的斜率k1=[n－y1]/[m－2],NA的斜率k2=[n－y2]/[m－2],由于∠MAN为定值,则tan∠MAN=|k1－k2|/|1＋k1k2|={[n－y1]/[m－2]－[n－y2]/[m－2]}/{1＋[(n－y1)(n－y2)]/[(m－2)²]}应该是和t无关的常数,如这样的m、n找到,则说明定点A是存在的,反之则不存在.化简下,注意到y1、y2都是可以用t的式子代入的,得：
tan∠MAN={2[m－2][√(4＋t²)－1]}/{(m－2)²＋n²－2tn＋2√(4＋t²)－5}
={2(m－2)√(4＋t²)－2(m－2)}/{2√(4＋t²)＋[(m－2)²＋n²－2tn－5]}.
要使得这个式子最后是和t无关的,则分子和分母对应的t的系数成比例,从而有：
①分母上2tn=0对t恒成立,则n=0；
②2(m－2)：2=[－2(m－2)]：[(m－2)²－5],解得m=2±√3.
从而A(2±√3,0).

直线和圆的问题已知半径为1的定圆圆心为P,且圆心P到定直线L的距离为2,Q是直线L上一个动点,圆Q与圆P外切,圆Q交直线已知定点F（1，0）和定直线l：x=-1，动圆P过定点F且与定直线l相切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．已知圆A：(x+2)^2+y^2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆圆心P的轨迹方程. 已知定点F（2，0）和定直线l：x=-2，动圆P过定点F与定直线l相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA 已知定点A（4,4）和P（1,0）,定直线 l ：x＝－1.动圆过P点且与直线l 相切.⑴ 求动圆圆心的轨迹M的方程；⑵ 21.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直于直线AB.点p时圆O上异于A,B的任意一点, 已知动圆P与动圆C：（x+2）平方+Y平方=1相外切,又与定直线L：X=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是? 若动圆P与定圆C：（x+3)^2+y^2=1相外切,且与直线l:x=2相切,求动圆圆心P的轨迹方程在平面直角坐标系XOY中,已知圆x方+y方-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且歇率为K的直线L与圆Q相交于不在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不已知动圆M过定点P(1.0),且与定直线L:x=0-1相切,求动圆圆心M的轨迹方程.