作业帮实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/02 16:03:10
实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同
实对称阵A是正定阵
则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的
而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)
即有正交阵P使得A=P'diag(a1,a2,..,an)P
=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P
记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P,则
A=Q'Q,即A与单位阵合同
反之若A与单位阵合同,即存在可逆阵S,使得
设A=S'S.则对任意非零向量x,有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0
∴A是正定的
则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的
而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)
即有正交阵P使得A=P'diag(a1,a2,..,an)P
=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P
记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P,则
A=Q'Q,即A与单位阵合同
反之若A与单位阵合同,即存在可逆阵S,使得
设A=S'S.则对任意非零向量x,有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0
∴A是正定的
实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同
线性代数 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是它与单位矩阵合同·
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