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一道极限题:求当x→0时(e^sinx-e^x)/(sinx-x)的极限~

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 09:29:17
一道极限题:求当x→0时(e^sinx-e^x)/(sinx-x)的极限~
可是怎么求呢?
“有个公式,x→0时,e^x-1~x,” 确实有这个 但是 只有在单纯的乘除运算中才可以使用,有加减好像不能这么直接用。
二楼的做法是初学者最常见的错误:等价无穷小只能替换独立的因子,也就是说只能进行乘除运算,不可以进行加减运算.
这题可以用几次罗毕达法则,分子分母分别求导.
但是最标准的做法是用麦克劳林公式展开各项,只要展开到前2项就行了:
e^x=1+x+0(x)
e^sinx=1+sinx+0(sinx) 其中0(x)和0(sinx)表示高阶无穷小
所以分子上:e^sinx-e^x=[1+sinx+0(sinx)]-[1+x+0(x)]=sinx-x-0(sinx)-0(x)
高阶无穷小是没有影响的,所以在极限条件下,分子分母是等价无穷小.所以结果等于1.