麻烦讲解一下这个带绝对值的二重积分的几何意义,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 12:58:53
麻烦讲解一下这个带绝对值的二重积分的几何意义,
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/42/642713019d6a4a1d14f934abe56beac4.jpg)
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二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积.该几何体的底面显然是一个圆的内部(含圆的边界),该圆的表达式为x²+y²=3²,即圆的圆心为(0,0),半径为3;几何体的高度为z=f(x,y)=|x²+y²-4|.
几何体的高度z为正值,但(x²+y²-4)在区域D内并非都是正值:只有在x²+y²>2²这个圆的外部时,(x²+y²-4)>0而取正值;当在这个圆内部时,取负值.
所以原积分分解成为两个积分的和,就可以去掉绝对值符号:
原积分=∫∫(D1)(-x²-y²+4)dv+∫∫(D2)(x²+y²-4)dv,其中D1:x²+y²≤4;D2:4≤x²+y²≤9.然后利用极坐标积分的变换,就很容易求出积分的值了.
再问: 你好,非常感谢你的悉心解答,不好意思,是我没有描述清楚,我主要是想知道这个几何体的形状,z=x²+y²–4是不是旋转抛物面呢?
再答: 这个几何体的形状真不好描述。根据积分关系式,显然其形状也分为两部分:一部分为底面区域为x²+y²≤2²的圆,其高度为z=-x²-y²+4,形状为一个圆锥;另一部分底面为圆环,表达式为2²≤x²+y²≤3²,高度为z=x²+y²-4,这时的形状应该是一个倒置的圆台。
几何体的高度z为正值,但(x²+y²-4)在区域D内并非都是正值:只有在x²+y²>2²这个圆的外部时,(x²+y²-4)>0而取正值;当在这个圆内部时,取负值.
所以原积分分解成为两个积分的和,就可以去掉绝对值符号:
原积分=∫∫(D1)(-x²-y²+4)dv+∫∫(D2)(x²+y²-4)dv,其中D1:x²+y²≤4;D2:4≤x²+y²≤9.然后利用极坐标积分的变换,就很容易求出积分的值了.
再问: 你好,非常感谢你的悉心解答,不好意思,是我没有描述清楚,我主要是想知道这个几何体的形状,z=x²+y²–4是不是旋转抛物面呢?
再答: 这个几何体的形状真不好描述。根据积分关系式,显然其形状也分为两部分:一部分为底面区域为x²+y²≤2²的圆,其高度为z=-x²-y²+4,形状为一个圆锥;另一部分底面为圆环,表达式为2²≤x²+y²≤3²,高度为z=x²+y²-4,这时的形状应该是一个倒置的圆台。