设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={X|f(x)=x}.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 21:56:19

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={X|f(x)=x}.
若A={1},且a大于等于1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值

f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0
A={1},说明a+b-1+c=0
又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0
∴a=c,b=1-2a
f(x)=ax^2+(1-2a)x+a
对称轴为x=1-1/(2a),且 a>1
∴对称轴的取值范围是[1/2,1)
∴x=(2a-1)/2a时有最小值m,且为（4a-1）/4a
当x=-2时有最大值M,且为4a-2+4a+a=9a-2
g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1
g(a)在（0,+∞）上单调递增,所以a=1时有最小值
g(1)=8-1/4=31/4
再问：又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0 ∴a=c,b=1-2a 为什么?
再答： ∵A={1}说明f(x)=x有且只有一个解啊~
再问：怎么得到a=c,b=1-2a?
再答： ∵a+b-1+c=0 ∴b-1=-a-c 又∵（b-1）^2-4ac=0 ∴(a+c)²-4ac=0 即(a-c)²=0 ∴a=c ∴b=1-2a
再问：为什么g(a)在（0，+∞）上单调递增?
再答：其实很容易“目测”的 ∵g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1 又∵a↑，9a↑ a↑，1/a↓，即1/(4a)↓ ∴- 1/(4a)↑ ∴这些东西+起来之后都是a↑，g(a)↑ 即g(a)在（0，+∞）上单调递增注：↑表示变大，↓表示变小