作业帮求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/02 18:09:05
求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题
二重积分对称性定理：
积分区域D关于原点对称,f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数,则
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）,（当f关于x,y的偶函数,即f(-x,-y)=f(x,y)时）
例：
计算I=∫∫xydxdy（在区域D上积分）,
其中区域D为双曲线（x^2+y^2）^2=2xy所围成
区域D：（x^2+y^2）^2=2xy关于原点对称,
又f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)
所以∫∫xydxdy（在区域D上积分）=2∫∫xydxdy（在区域D*上积分）,其中区域D*是区域D的第1象限部分
（定理是蔡子华书上的,例题是陈文灯书上的,陈文灯书上的定理没写后面的条件.定理与例题区域D*矛盾,到底谁的是对的.
二重积分对称性定理：
积分区域D关于原点对称,f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数,则
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）,（当f关于x,y的偶函数,即f(-x,-y)=f(x,y)时）
例：
计算I=∫∫xydxdy（在区域D上积分）,
其中区域D为双曲线（x^2+y^2）^2=2xy所围成
区域D：（x^2+y^2）^2=2xy关于原点对称,
又f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)
所以∫∫xydxdy（在区域D上积分）=2∫∫xydxdy（在区域D*上积分）,其中区域D*是区域D的第1象限部分
（定理是蔡子华书上的,例题是陈文灯书上的,陈文灯书上的定理没写后面的条件.定理与例题区域D*矛盾,到底谁的是对的.
定理没错
那就是陈文灯的错了拉
那就是陈文灯的错了拉
求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题
关于二重积分对称性的问题
关于二重积分的轮换对称性问题
当积分区域D关于直线y=x对称时,二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置,
关于二重积分轮换对称性问题
中二重积分的对称性问题
关于高斯定理对称性的问题
二重积分对称性定理是什么?
二重积分对称性问题二重积分 被积函数不对称可以人为构造对称函数使其与原被积分函数相加后求积分吗
为什么一个函数是奇函数,并且积分区域关于坐标轴对称它的二次积分就能根据对称性为零,这样表述正确么?
二重积分轮换对称性：只要积分区域满足轮换对称性,被积函数不用满足轮换对称性吗?
轮换对称性成立的条件是什么?积分区域有什么要求?二维的是关于Y=X对称?三维呢?