作业帮一道高数的空间解析几何题 如图
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 08:58:08
一道高数的空间解析几何题 如图
令F(x,y,z)=x^2+y^2+z-4=0
则曲面F(x,y,z)的切平面L方程为：F′x(x0,y0,z0)(x-x0)+F′y(x0,y0,z0)(y-y0)+F′z(x0,y0,z0)(z-z0)=0
其中：P(x0,y0,z0)为切点,F′x、F′y、F′z分别为F(x,y,z)对x、y、z的偏导
可得F′x=2x0 F′y=2y0 F′z=1
又切平面L平行于平面π,所以2x0/2=2y0/2=1/1
x0=1 y0=1 z0=4-(x0)^2-(y0)^2=2
P(1,1,2)
故切平面L：2(x-1)+2(y-1)+(z-2)=0
2x+2y+z-6=0
2)在平面π上取点Q(0,0,0)
则向量PQ=(1,1,2)
平面π的法向量为：向量n={2,2,1}
则此曲面到平面π的最短距离S
为向量PQ到法向量n的投影的模
S=向量PQ·COS＜PQ,n＞
=(向量PQ·向量n)/(│向量n│)
=(1×2+1×2+2×1)/√(2^2+2^2+1^2)
=2
所以最短距离是2 最长距离是∞
则曲面F(x,y,z)的切平面L方程为：F′x(x0,y0,z0)(x-x0)+F′y(x0,y0,z0)(y-y0)+F′z(x0,y0,z0)(z-z0)=0
其中：P(x0,y0,z0)为切点,F′x、F′y、F′z分别为F(x,y,z)对x、y、z的偏导
可得F′x=2x0 F′y=2y0 F′z=1
又切平面L平行于平面π,所以2x0/2=2y0/2=1/1
x0=1 y0=1 z0=4-(x0)^2-(y0)^2=2
P(1,1,2)
故切平面L：2(x-1)+2(y-1)+(z-2)=0
2x+2y+z-6=0
2)在平面π上取点Q(0,0,0)
则向量PQ=(1,1,2)
平面π的法向量为：向量n={2,2,1}
则此曲面到平面π的最短距离S
为向量PQ到法向量n的投影的模
S=向量PQ·COS＜PQ,n＞
=(向量PQ·向量n)/(│向量n│)
=(1×2+1×2+2×1)/√(2^2+2^2+1^2)
=2
所以最短距离是2 最长距离是∞