物理竞赛中有一类的题都与微元法有关,请问下面这题怎么解?还有这类题怎么解?与微积分有关吗?要详解.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/06 11:57:17

用微积分：光子每移动一段距离Δx,其频率将会降低Δv,于是有能量守恒知hΔv=mgΔx,考虑光子的相对论质量m=E/c²,E=hv,代入有hΔv=hvgΔx/c²,消去h,有Δv=-vgΔx/c²,当Δx→0,方程变为一个微分方程.即δv=-vgδx/c²,为了区别题目中的d,我将微分符号d写成δ.δv/v=-gδx/c²,积分即可.ln(v/v')=gd/c²,于是v‘=ve^(-gd/c²),得到v'-v=v[e^(-gd/c²)-1].
用微元法（前面同上）Δv=-vgΔx/c²,不妨记Δv=v(k+1)-v(k),且v(0)=v,v(∞)=v'.于是式子改写为v(k+1)-v(k)=-v(k)gΔx/c².两边除以v(k),有v(k+1)/v(k)-1=-gΔx/c².这个式子告诉我们一件事即Δx→0,v(k+1)/v(k)→1.于是我们将考虑累乘法,得到重要极限(1+1/n)^n→e,当n→∞.将式子v(k+1)/v(k)=-gΔx/c²+1从k=0到k=∞做累乘,得v(n)/v(0)=(1-gΔx/c²)^n.(n→∞)这儿出现了无穷,我们必须有其准确的表示.因此在Δx身上下功夫,补充定义Δx=d/n(n→∞),于是解得v’/v=e^(-gd/c²).与微积分的结论一致.此外,还有什么定积分定义法,其实都是大同小异.

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