求函数y=2√((x-1)^2+4)+√((x-8)^2+9)最小值.请问怎么三角换元?

求函数y=2√((x-1)^2+4)+√((x-8)^2+9)最小值.请问怎么三角换元?

没法三角换元【LZ想问是三角函数换元吧,没有出现可以换的常数项,三角函数换元原理是AsinB +AcosB =A】
如果是解这一题
2√((x-1)^2+4)+√((x-8)^2+9)=√((2x-2)^2+4^2)+√((x-8)^2+3^2)
平方右边有(2x-2)^2+4^2+(x-8)^2+3^2+2√((2x-2)^2+4^2)×√((x-8)^2+3^2)
再开方有
√((2x-2)^2+4^2)+√((x-8)^2+3^2)=√((2x-2)^2+4^2+(x-8)^2+3^2+2√((2x-2)^2+4^2)×√((x-8)^2+3^2)）
令2x-2=a b=4 c=x-8 d=3
上式 =√(a^2+b^2+c^2+d^2+2√((ac+bd)^2+(ad-bc)^2))
>=√(a^2+b^2+c^2+d^2+2√((ac+bd)^2))
=√(a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd)
=√((a+c)^2+(b+d)^2)
=√((3x-10)^2+(7)^2)…………………………………………A
"= "当 ad = bc 且 ac + bd >=0 时取得,此时,解得X=-13,满足条件,代入A式=35√2
综上有函数最小值为35√2
再问： 答案是5倍根号5
再问： 绝对没错的！
再答： 既然LZ给了个答案，我又重新算了一遍 方法仍然是这样子，但是a=4 b=2x-2 c=8-x d=3 "= "当 ad = bc 且 ac + bd >=0 时取得x=2 得到原式>= √(5(x-2)^2+125)>=5√5 PS:算错了抱歉【等号成立我漏掉了，要两个等号同时成立才可以】，但是方法没错，可以放心
再问： 等下我看看，我会了就给分！
再问： 为什么要a=4，b=2x-2，c=8-x，d=3才行呢？我觉得像你之前的算出的x=-13时成立又为何是错的？
再答： 我之前的成立只是成立了第一个不等式的限制条件，最小值那里的不等式条件其实是不满足的 也就是说要先满足了第一个不等式的限制条件【当 ad = bc 且 ac + bd >=0 时】，a和c由于含未知量，所以可能会有几个都满足限制条件的，这时候就到这些满足条件的是否也满足最小值的限定【也就是代进去是否最小】
再问： 这样说的话就要算好多次才能试出来了？
再问： 能不能一眼看出谁说a谁是b谁是c谁是d呢？
再答： 可以这样想，由于x是变量，可以考虑将两边个都带有x(a c和b d),这样由于两边同时变化就不会有一边变，一边为常数不变的可排除现象(a c和b d那里是加号，不知道为什么打不上去)
再问： 就是说把变量乘在一起，另一边放常数？
再问： 你确定普遍适用？
再答： 你误解我的意思了 第一个不等式必然对一切实数是成立的，可以证明 可能因为我+号一开始没能打出来你误解了——我是说让a+c和b+d都含有一个变量，使a+c和b+d同时发生变化 而我一开始弄错的就是只有a+c是变量，b+d是常量，换个说法吧，这样简单点 ad = bc 且 ac + bd >=0 可以得出ac同号，bd同号【举个例子，d=bc/a 代入不等式得到b*(a^2+b^2)/d>=0】，我原来那个有一个bd是正数×正数，没有x变量在里面，无论x是什么都会成立，即条件无效，所以才使两边都是含有变量，通过4个量限制了x的范围，而不是仅仅其中两个
再问： 就是说当且仅当的时候，等号两边都要有变量？
再问： 等等，我发错了，是不是a或c要有一个变量，b或d也要有一个变量？
再答： 应该这么说，由于存在变量，所以才使两边都存在变量——可以想象，本来等号左边是两个变量相加，右边放缩得到一个变量+一个常量的开放，那么即可以再放缩为一个变量的开方，此时开方得到是一次函数，无法找到最小值【由“=”成立条件限制也不行】 PS：其实这个可以利用物理知识来解决的，不过为了利用纯数学方式来解决，才采用此方式
再问： 物理知识怎么解决？
再答： 光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播，这其实是费马原理——当然，你要先懂了这个才能列出对应方程【虽然从原来函数的形式可以看出应该是要数型结合，但是不是一般的结合】